Intégrale double/Étude de l'intégration sur des compacts simples

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Compacts simples

Définition — Compact élémentaire

On appelle compact élémentaire toute partie $K\subset \mathbb {R} ^{2}$ tel qu’il existe $\phi _{1},\phi _{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$, et $\psi _{1},\psi _{2}:[c,d]\rightarrow \mathbb {R}$, vérifiant :

${\begin{aligned}K&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},a\leq x\leq b\ {\rm {{et}\ \phi _{1}(x)\leq y\leq \phi _{2}(x)\}}}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},c\leq y\leq d\ {\rm {{et}\ \psi _{1}(y)\leq x\leq \psi _{2}(y)\}}}\end{aligned}}$.

Définition — Compact simple

On appelle compact simple toute réunion de compacts élémentaires $(K_{i})_{i\in I}$ d'intérieurs deux à deux disjoints :

$\forall i\neq j,{\stackrel {\ \circ }{K_{i}}}\cap {\stackrel {\ \circ }{K_{j}}}=\emptyset$.

Intégrale double sur un compact élémentaire

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On définit l'intégrale de $f:\Delta \rightarrow \mathbb {K}$, où $\Delta$ est un compact élémentaire, par :

$\iint _{\Delta }f=???$.

À titre d'exercice, vous pouvez redémontrer les propriétés de linéarité, l'inégalité triangulaire…

Formule de changement de variables

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Soit ${\mathcal {U}}$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{2}$ et $\phi :(u,v)\rightarrow (x,y)$ une injection ${\mathcal {C}}^{1}$ de ${\mathcal {U}}$ dans $\mathbb {R} ^{2}$. En notant son jacobien :

${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}$

il vient alors, pour $f:\phi (U)\to \mathbb {K}$ :

$\iint _{\phi (U)}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{U}f(\phi (u,v))\left|{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$.

Cas des cordonnées polaires

Proposition

Pour $D$ un compact simple de $\mathbb {R} _{+}\times \left[0,2\pi \right[$ tel que $\Delta =\phi (D)$ soit un compact simple, et $f:\Delta \to \mathbb {K}$ continue. Alors :

$\iint _{\Delta }f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{D}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta$.

Cet exemple est traité dans Calcul différentiel/Jacobien#Jacobien et matrice jacobienne.