Espace euclidien/Coniques

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définitions

Soit :

• Q une forme quadratique non nulle sur ${\vec {\mathcal {P}}}$
• l une forme linéaire sur ${\vec {\mathcal {P}}}$
• ${\rm {O}}\in {\mathcal {P}}$
• $k\in \mathbb {R}$

Définition

Une conique est un ensemble de points de la forme $\left\{{\rm {M}}\in {\mathcal {P}}|Q\left({\overrightarrow {OM}}\right)+l\left({\overrightarrow {OM}}\right)=k\right\}$

Dans un repère orthonormé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ de ${\mathcal {P}}$, il existe $(a,b,c,d,e)\in \mathbb {R} ^{5}$ tel que la conique s'écrive ${\begin{matrix}\left\{{\rm {M}}{\begin{array}{|l}x\\y\end{array}}\in {\mathcal {P}}~,~\right.&\underbrace {ax^{2}+2bxy+cy^{2}} &+\underbrace {dx+ey} &\left.{\begin{array}{l}~\\~\end{array}}=k\right\}\\&Q\left({\overrightarrow {OM}}\right)&l\left({\overrightarrow {OM}}\right)&\\\end{matrix}}$

La matrice dans la base $({\vec {i}},{\vec {j}})$ de l'endomorphisme autoadjoint u associé à Q est ${\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}$

Il existe une base $({\vec {I}},{\vec {J}})$ de ${\vec {\mathcal {P}}}$ dans laquelle la matrice de u est ${\begin{matrix}\lambda &0\\0&\mu \end{matrix}}$

Conique dégénérée

On dit que la conique est non dégénérée

ssi aucune valeur propre de l'endomorphisme associé à la forme quadratique n'est nulle

ssi $ac-b^{2}\not =0$

Coniques

Coniques non dégénérées

Début d’un principe

Type ellipse

Si les valeurs propres sont de même signe, ie $ac-b^{2}>0$, alors la conique est de type ellipse.

Elle peut être :

• réduite à $\{0\}$
• vide
• d'équation réduite ${\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1$ avec a > b

où a est le demi-grand-axe

où b est le demi-petit-axe

Fin du principe

Début d’un principe

Type hyperbole

Si les valeurs propres sont de signes opposés, ie $ac-b^{2}<0$, alors la conique est de type hyperbole.

Elle peut être :

• d'équation réduite ${\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=0$, auquel cas on a deux droites sécantes
• d'équation réduite ${\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1$, auquel cas on a une hyperbole

Fin du principe

Conique dégénérée

Début d’un principe

Type parabole

Si une valeur propre est nulle, ie $ac-b^{2}=0$, alors la conique est de type parabole.

Elle peut être :

• vide
• réduite à une droite
• réduite à deux droites parallèles
• d'équation réduite $Y^{2}=2pX$

où a est le demi-grand-axe

où b est le demi-petit-axe

Fin du principe