En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calculs d'aires
Intégration de Riemann/Exercices/Calculs d'aires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions
et
définies par :
;
.
Solution
s'annule pour
, avec
.
.
Évaluer les aires des deux sous-ensembles du plan délimités par les courbes d'équations :
.
Solution
Notons respectivement
ces trois courbes. Elles se coupent en
mais aussi en
pour
, en
pour
et en
pour
.
L'aire du triangle curviligne
est :
.
Celle du triangle curviligne
est :
.
Soit
. Calculer l'aire du disque
.
Solution
Ce disque est délimité par les deux arcs de cercle d'équations
et
pour
, donc son aire est
![{\displaystyle \int _{-R}^{R}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072f943c1c46635390e3e09aa3080cb69a55766c)
ou encore, par changement de variable
:
.
- Remarques
-
- Le calcul de
peut s'effectuer plus astucieusement : ![{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9769055eb5b3fe16c3484ff95d215622440336)
est égal à
(par changement de variable
), donc à
.
- Pour une méthode plus expéditive, voir l'exemple « Aire d'un disque » dans Calcul différentiel/Jacobien#Changement de variables.
Plus généralement, pour
, calculer l'aire du domaine
.
Solution
Ce domaine est délimité par les deux arcs d'ellipse d'équations
et
pour
, donc son aire est
![{\displaystyle \int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7356ccc0fe453d5db2d71ffd079ed2eb20e934f)
ou encore, par changement de variable
:
.
- Remarque
- Si l'on connaît le changement de variable dans une intégrale double (niveau 15), on peut aussi :
- déduire ce résultat du précédent, en remarquant que
avec
;
- le démontrer directement en généralisant la « méthode plus expéditive » signalée précédemment, en posant
et
.
Soit
. On considère la boule
.
- Pour tout
, quelle est l'aire
de l'intersection de cette boule avec le plan d'équation
?
- En déduire le volume
de
, à l'aide de la formule
.
Calculer l'aire du parallélogramme
.
Solution
.
Calculer l'aire du domaine
.
Solution
.
On se donne les points du plan
,
et
.
- Écrire les équations des droites
et
.
- Calculer l'aire du triangle
.
- Calculer l'aire du triangle
.