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Exercice : Croissances comparéesFonction logarithme/Exercices/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer les limites suivantes :
lim
x
→
+
∞
x
ln
x
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln x}}}
Solution
Quand
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
,
x
ln
(
x
)
=
1
/
ln
x
x
→
1
/
0
+
=
+
∞
{\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}=1\left/{\frac {\ln x}{x}}\right.\to 1\left/0^{+}\right.=+\infty }
.
lim
x
→
+
∞
x
ln
(
x
2
)
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln(x^{2})}}}
Solution
Quand
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
,
x
ln
(
x
2
)
=
x
2
ln
x
→
1
2
×
+
∞
=
+
∞
{\displaystyle {\frac {x}{\ln(x^{2})}}={\frac {x}{2\ln x}}\to {\frac {1}{2}}\times +\infty =+\infty }
.
lim
x
→
+
∞
x
2
+
3
x
+
1
ln
x
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}+3x+1}{\ln x}}}
Solution
Quand
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
,
x
2
+
3
x
+
1
ln
x
>
x
2
ln
x
→
1
0
+
=
+
∞
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{\ln x}}>{\frac {x^{2}}{\ln x}}\to {\frac {1}{0^{+}}}=+\infty }
.
lim
x
→
+
∞
(
ln
x
−
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(\ln x-x)}
Solution
Quand
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
,
ln
x
−
x
=
x
(
ln
x
x
−
1
)
→
+
∞
(
0
−
1
)
=
−
∞
{\displaystyle \ln x-x=x\left({\frac {\ln x}{x}}-1\right)\to +\infty (0-1)=-\infty }
.
Déterminer les limites suivantes.
lim
x
→
0
+
x
2
ln
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{2}\ln(x)}
Solution
Quand
x
→
0
+
{\displaystyle x\to 0^{+}}
,
x
2
ln
(
x
)
=
x
×
x
ln
x
→
0
+
×
0
−
=
0
−
{\displaystyle x^{2}\ln(x)=x\times x\ln x\to 0^{+}\times 0^{-}=0^{-}}
.
lim
x
→
0
+
x
ln
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\sqrt {x}}\ln(x)}
Solution
Quand
x
→
0
+
{\displaystyle x\to 0^{+}}
,
y
:=
x
→
0
+
{\displaystyle y:={\sqrt {x}}\to 0^{+}}
donc
x
ln
(
x
)
=
y
ln
(
y
2
)
=
2
y
ln
y
→
2
×
0
−
=
0
−
{\displaystyle {\sqrt {x}}\ln(x)=y\ln(y^{2})=2y\ln y\to 2\times 0^{-}=0^{-}}
.
lim
x
→
0
+
(
1
x
+
ln
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {1}{x}}+\ln x\right)}
Solution
Quand
x
→
0
+
{\displaystyle x\to 0^{+}}
,
1
x
+
ln
x
=
1
x
(
1
+
x
ln
x
)
→
+
∞
(
1
+
0
)
=
+
∞
{\displaystyle {\frac {1}{x}}+\ln x={\frac {1}{x}}\left(1+x\ln x\right)\to +\infty \left(1+0\right)=+\infty }
.
On se propose de démontrer que pour tout réel
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
,
lim
x
→
+
∞
ln
x
x
α
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{\alpha }}}=0}
, de deux façons, dont la première s'appuie sur le cas particulier
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
démontré en cours et la deuxième est directe.
Déduire la propriété pour tout réel
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
du cas particulier
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
, par changement de variable.
Pour
β
,
x
>
0
{\displaystyle \beta ,x>0}
, on pose
f
β
(
x
)
=
ln
x
x
β
{\displaystyle f_{\beta }(x)={\frac {\ln x}{x^{\beta }}}}
.
Montrer que
f
β
{\displaystyle f_{\beta }}
est décroissante (strictement) sur une certaine demi-droite
]
K
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]K,+\infty \right[}
.
En déduire que
f
β
{\displaystyle f_{\beta }}
admet en
+
∞
{\displaystyle +\infty }
une limite finie.
Conclure en appliquant cela à
β
=
α
/
2
{\displaystyle \beta =\alpha /2}
.