Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites

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Théorèmes de comparaison

Début d’un théorème

Théorème

Soient $f$ et $g$ deux fonctions.

• Si $\lim _{+\infty }f=+\infty$ et $g\geq f$, alors $\lim _{+\infty }g=+\infty$.
• Si $\lim _{+\infty }f=-\infty$ et $g\leq f$, alors $\lim _{+\infty }g=-\infty$.

Fin du théorème

En effet, si une fonction donnée prend des valeurs de plus en plus grandes (tendant vers +∞), une autre fonction dont les valeurs seraient encore plus grandes fait de même !

De même, si une fonction donnée prend des valeurs de plus en plus petites (tendant vers -∞), une autre fonction dont les valeurs seraient encore plus petites va tendre également vers -∞.

Théorème des gendarmes

Début d’un théorème

Théorème

Soit $a\in \mathbb {R}$ ou $a=+\infty$ ou $a=-\infty$.

Si $\lim _{a}f=L$ et $\lim _{a}h=L$ et $f\leq g\leq h$, alors $\lim _{a}g=L$.

Fin du théorème

On comprend facilement qu'une fonction « coincée » entre deux autres qui ont la même limite est forcée d’avoir elle aussi cette limite, par effet « d'entonnoir ».

Le nom de « théorème des gendarmes » reprend cette image. Un voleur attrapé de part et d’autre par deux gendarmes est bien obligé d'aller au même endroit qu'eux. Outre-Manche, ce théorème est parfois appelé « the sandwich theorem ».

Début de l'exemple

Exemple

Soit $\color {blue}g:x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$. On cherche la limite de $g$ en 0.

Elle ne peut pas être déterminée par la propriété des limites

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)$,

parce que

$\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$

n'existe pas.

Mais en utilisant le théorème des gendarmes, il suffit de poser :

$\color {red}f:x\mapsto -x^{2}$ ;

$\color {green}h:x\mapsto x^{2}$.

Comme pour tout $t\in \mathbb {R} ,~-1\leq \sin(t)\leq 1$, on a pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*},~f(x)\leq g(x)\leq h(x)$

Comme de plus $\lim _{0}f=0$ et $\lim _{0}h=0$, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que $\lim _{0}g$ existe et est égale à $0$.

Fin de l'exemple