Leçons de niveau 14

Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées

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Sommations plus compliquées
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Exercices no7
Leçon : Sommation

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Sommation de combinaisons
Exo suiv. :Sommations de séries entières
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Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées
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Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit n ∈ ℕ.

I) Montrer que :

.

II) Soient m et r deux entiers naturels tels que .

Pour tout entier i tel que , soit l'ensemble des parties de à m + n + 1 éléments dont le (m + 1)-ième (par ordre croissant) est égal à i + 1.

a) Quel est le cardinal de  ?

b) En déduire :

.

III) En déduire :

.

Pour une autre preuve du II.b, voir Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite#Exercice 1-4.

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

.

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

a) Démontrer que pour tout polynôme de degré strictement inférieur à n, .

b) Soit . On rappelle (exercice 6-1) que . En déduire

.