Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées

Exercice 7-1

Soit n ∈ ℕ.

I) Montrer que :

$\sum _{m=0}^{n}{2n+1 \choose m+n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}=2^{2n}$.

II) Soient m et r deux entiers naturels tels que $m\leq r-n$.

Pour tout entier i tel que $m\leq i\leq r-n$, soit $A_{i}$ l'ensemble des parties de $\{1,2,\dots ,r+1\}$ à m + n + 1 éléments dont le (m + 1)-ième (par ordre croissant) est égal à i + 1.

a) Quel est le cardinal de $A_{i}$ ?

b) En déduire :

$\sum _{i=m}^{r-n}{\binom {i}{m}}{\binom {r-i}{n}}={\binom {r+1}{m+n+1}}$.

III) En déduire :

$\sum _{k=n}^{2n}{\binom {k}{n}}{\frac {1}{2^{k}}}=1$.

Solution

I) On démontre la première égalité par symétrie des coefficients binomiaux puis inversion d'indice :

$\sum _{m=0}^{n}{2n+1 \choose m+n+1}=\sum _{m=0}^{n}{2n+1 \choose n-m}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}$.

On en déduit la seconde par glissement d'indice et formule du binôme :

$2\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}+\sum _{m=0}^{n}{2n+1 \choose m+n+1}=\sum _{k=0}^{2n+1}{\binom {2n+1}{k}}=2^{2n+1}$.

II) a) Pour former une partie de $\{1,2,\dots ,r+1\}$ appartenant à $A_{i}$, on choisit :

• dans {1, 2, … , i} ses m éléments avant i + 1,
• dans {i + 2, j + 3, … , r + 1} ses n éléments après i + 1.

Donc $\operatorname {card} (A_{i})={\binom {i}{m}}{\binom {r-i}{n}}$.

b) Dans {1, 2, … , r + 1}, il y a $\textstyle {\binom {r+1}{m+n+1}}$ parties à m + n + 1 éléments.

On peut aussi les dénombrer en choisissant d'avance la valeur i + 1, dans {m + 1, m + 2, … , r – n + 1}, du (m + 1)-ème élément de cette partie, donc en prenant cette partie dans $A_{i}$.

Donc ${\binom {r+1}{m+n+1}}=\sum _{i=m}^{r-n}\operatorname {card} (A_{i})=\sum _{i=m}^{r-n}{\binom {i}{m}}{\binom {r-i}{n}}$.

III) Pour r = 2n, en sommant le résultat précédent pour m de 0 à n et en se servant du I), on obtient :

$2^{2n}=\sum _{m=0}^{n}{2n+1 \choose m+n+1}=\sum _{m=0}^{n}\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{m}}{\binom {2n-i}{n}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {2n-i}{n}}\sum _{m=0}^{i}{\binom {i}{m}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {2n-i}{n}}2^{i}=\sum _{k=n}^{2n}{\binom {k}{n}}2^{2n-k}$,

qui est le résultat voulu.

 

Pour une autre preuve du II.b, voir Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite#Exercice 1-4.

Exercice 7-2

Calculer :

$S:=\sum _{i}E\left({\frac {i}{2}}\right){\binom {n}{i}}X^{i}$.

Solution

$2S=\sum _{i}i{\binom {n}{i}}X^{i}-\sum _{k}{\binom {n}{2k+1}}X^{2k+1}=n\sum _{i}{\binom {n-1}{i-1}}X^{i}-\sum _{k}{\binom {n}{2k+1}}X^{2k+1}=nX(1+X)^{n-1}-{\frac {(1+X)^{n}-(1-X)^{n}}{2}}$

donc

$S={\frac {2nX(1+X)^{n-1}-(1+X)^{n}+(1-X)^{n}}{4}}$

 

Exercice 7-3

a) Démontrer que pour tout polynôme $P$ de degré strictement inférieur à n, $\sum _{k}(-1)^{k}P(k){\binom {n}{k}}=0$.

b) Soit $n>2$. On rappelle (exercice 6-1) que $\sum _{k}k^{2}{\binom {n}{k}}=n(n+1)2^{n-2}$. En déduire

$\sum _{j}j^{2}{\binom {n}{2j}}$.

Solution

a) Les n polynômes $X(X-1)\dots (X-p+1)$ pour $0\leq p<n$ forment une base de $\mathbb {R} _{n-1}[X]$.

Il suffit donc de montrer que pour tout $p<n$, $\sum _{k}(-1)^{k}k(k-1)\dots (k-p+1){\binom {n}{k}}=0$.

${\begin{aligned}\sum _{k}(-1)^{k}k(k-1)\dots (k-p+1){\binom {n}{k}}&=\sum _{k}(-1)^{k}n(n-1)\dots (n-p+1){n-p \choose k-p}\\&=n(n-1)\dots (n-p+1)\sum _{j}(-1)^{j+p}{\binom {n-p}{j}}\\&=n(n-1)\dots (n-p+1)(-1)^{p}(1-1)^{n-p}\\&=0.\end{aligned}}$

b) D'après le rappel et le résultat précédent (appliqué à $P(X)=X^{2}$),

$n(n+1)2^{n-2}=\sum _{k}k^{2}{\binom {n}{k}}=\sum _{j}(2j)^{2}{\binom {n}{2j}}+\sum _{j}(2j+1)^{2}{\binom {n}{2j+1}}=2\sum _{j}(2j)^{2}{\binom {n}{2j}}$

donc

$\sum _{j}j^{2}{\binom {n}{2j}}={\frac {n(n+1)2^{n-2}}{8}}=n(n+1)2^{n-5}$.