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Exercice : Étude de la fonction exponentielle
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Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
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2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
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3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
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5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
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ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est croissante.
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2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
|
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
|
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
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Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
Solution
Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur .
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
4.
- La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée.
- On a
- On pose sur la fonction
- On dérive selon :
- La dérivée de est définie par
- On obtient
- Soit, pour tout
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Solution
1.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
4.
- On pose sur la fonction
- Sa dérivée est définie par
- Comme , on a pour tout
5.
- Pour tout
6.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
7.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ la fonction définie sur par :
- pour tout
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout .
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en .