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Exercice : Étude de la fonction exponentielle
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Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
ƒ est la fonction définie sur
par :
- pour tout
.
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en
.
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de
et
.
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur
et, pour tout
:

Or, pour tout
donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
|
2. Étudier la limite de ƒ en
.


Donc
|
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :

- une partie qui tend vers 0 :

Si on pose
, définie sur
et de représentation graphique
, on a :

4. Étudier les positions relatives de
et
.
- Pour tout
, grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
|
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à
au point d'abscisse 2 est :

Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
|
ƒ est la fonction définie sur
par :
- pour tout
.
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en
.
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de
et
.
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur
et, pour tout
:

Or, pour tout
donc
On en déduit que ƒ est croissante.
|
2. Étudier la limite de ƒ en
.


Donc
|
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :

- une partie qui tend vers 0 :

Si on pose
, définie sur
et de représentation graphique
, on a :

4. Étudier les positions relatives de
et
.
- Pour tout
, grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
|
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à
au point d'abscisse 2 est :

Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
|
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
Solution
Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur
.
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout

- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

3.
- On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

4.
- La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée.
- On a

- On pose sur
la fonction 
- On dérive
selon
:
- La dérivée de
est définie par 
- On obtient

- Soit, pour tout

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Solution
1.
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

2.
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

3.
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

4.
- On pose sur
la fonction 
- Sa dérivée est définie par

- Comme
, on a pour tout 
5.
- Pour tout

6.
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

7.
- On pose sur
les fonctions
et 
- Leurs dérivées sont définies par
et 
- Finalement, pour tout

Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ la fonction définie sur
par :
- pour tout

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout
.
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en
.