Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle

Soit $x\in \mathbb {R}$.

Exercice 1

Dans chaque cas, simplifier l'expression :

1. $(\mathrm {e} ^{x})^{5}\times \mathrm {e} ^{-2x}$ ;
2. ${\frac {\mathrm {e} ^{2x+3}}{\mathrm {e} ^{2x-1}}}$ ;
3. ${\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{-x}}}$.

Solution

1. $(\mathrm {e} ^{x})^{5}\times \mathrm {e} ^{-2x}=\mathrm {e} ^{5x}\times \mathrm {e} ^{-2x}=\mathrm {e} ^{5x-2x}=\mathrm {e} ^{3x}$ ;
2. ${\frac {\mathrm {e} ^{2x+3}}{\mathrm {e} ^{2x-1}}}=\mathrm {e} ^{(2x+3)-(2x-1)}=\mathrm {e} ^{4}$ ;
3. ${\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{-x}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{-x}}}=\mathrm {e} ^{x-(-x)}+1=1+\mathrm {e} ^{2x}$.

 

Exercice 2

Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

1. $(\mathrm {e} ^{x})^{6}\times \mathrm {e} ^{-3x}$ ;
2. ${\frac {\mathrm {e} ^{2x+5}}{\mathrm {e} ^{3x}\times \mathrm {e} ^{-1}}}$.

Solution

1. $(\mathrm {e} ^{x})^{6}\times \mathrm {e} ^{-3x}=\mathrm {e} ^{6x}\times \mathrm {e} ^{-3x}=\mathrm {e} ^{6x-3x}=\mathrm {e} ^{3x}$ ;
2. ${\frac {\mathrm {e} ^{2x+5}}{\mathrm {e} ^{3x}\times \mathrm {e} ^{-1}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x+5}}{\mathrm {e} ^{3x-1}}}=\mathrm {e} ^{2x+5-(3x-1)}=\mathrm {e} ^{-x+6}$.

 

Exercice 3

Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

1. $(\mathrm {e} ^{x})^{5}\times \mathrm {e} ^{-4x}$ ;
2. ${\frac {\mathrm {e} ^{2x-5}}{\mathrm {e} ^{2x}\times \mathrm {e} ^{-1}}}$.

Solution

1. $(\mathrm {e} ^{x})^{5}\times \mathrm {e} ^{-4x}=\mathrm {e} ^{5x}\times \mathrm {e} ^{-4x}=\mathrm {e} ^{5x-4x}=\mathrm {e} ^{x}$ ;
2. ${\frac {\mathrm {e} ^{2x-5}}{\mathrm {e} ^{2x}\times \mathrm {e} ^{-1}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x-5}}{\mathrm {e} ^{2x-1}}}=\mathrm {e} ^{2x-5-(2x-1)}=\mathrm {e} ^{-4}$

 

Exercice 4

Démontrer que :

1. ${\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}={\frac {1-\mathrm {e} ^{-x}}{1+\mathrm {e} ^{-x}}}$ ;
2. $\mathrm {e} ^{-x}-\mathrm {e} ^{-2x}={\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}}}$ ;
3. ${\frac {\mathrm {e} ^{-x}+1}{\mathrm {e} ^{-2x}}}=\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{2x}$.

Solution

1. ${\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}(1-\mathrm {e} ^{-x})}{\mathrm {e} ^{x}(1+\mathrm {e} ^{-x})}}={\frac {1-\mathrm {e} ^{-x}}{1+\mathrm {e} ^{-x}}}$ ;
2. $\mathrm {e} ^{-x}-\mathrm {e} ^{-2x}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}(\mathrm {e} ^{-x}-\mathrm {e} ^{-2x})}{\mathrm {e} ^{2x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x-x}-\mathrm {e} ^{2x-2x}}{\mathrm {e} ^{2x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}}}$ ;
3. ${\frac {\mathrm {e} ^{-x}+1}{\mathrm {e} ^{-2x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}(\mathrm {e} ^{-x}+1)}{\mathrm {e} ^{2x}\times \mathrm {e} ^{-2x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{2x}}{\mathrm {e} ^{0}}}=\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{2x}$.

 

Exercice 5

Soit $D=\mathbb {Q}$ ou $\mathbb {R}$ et $f:D\to \mathbb {R}$ une fonction non constamment nulle et vérifiant :

$\forall x,y\in D\quad f(x+y)=f(x)f(y)$.

Démontrer que :

1. $f(0)=1$ ;
2. $\forall x\in D\quad f(x)f(-x)=1$ ;
3. $\forall x\in D\quad f(x)>0$ ;
4. Pour tout $x\in D$ et tout rationnel $r$, $f(rx)=f(x)^{r}$ ;
5. Si $f$ est définie sur $\mathbb {R}$ et continue en un point alors elle est continue sur $\mathbb {R}$.
6. Si $f$ est continue sur $\mathbb {R}$ alors elle est de la forme $x\mapsto \exp(kx)$.

Solution

1. Puisque $f\neq 0$, il existe $a\in D$ tel que $f(a)\neq 0$. Mais alors $f(a+0)=f(a)f(0)$ donc $f(0)=1$.
2. $f(x)f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=1$.
3. $f(x)\neq 0$ d'après le point précédent, et $f(x)=f(x/2)^{2}$.
4. Le cas $r\in \mathbb {Z}$ se démontre exactement de la même façon que pour $f=\exp$ (cf. cours). On en déduit en particulier que pour tout entier $q>0$, $f(x)={\sqrt[{q}]{f(qx)}}$ (cf. chap. 7). Par conséquent (cf. chap. 7), pour tout $x\in D$ et tous entiers $q>0$ et $p$, $f\left({\frac {p}{q}}x\right)=(f(x))^{p/q}$.
5. Supposons $f$ continue en $x$. Alors elle est continue en tout $y\in \mathbb {R}$ car quand $h\to 0$, $f(y+h)=f(x+h)f(y-x)\to f(x)f(y-x)=f(y)$.
6. Soit $k$ le réel tel que $\exp(k)=f(1)$. Les deux fonctions $f$ et $x\mapsto \exp(kx)$ coïncident en $1$, donc sur $\mathbb {Q}$ d'après la question 4, donc sur $\mathbb {R}$ par continuité.