Fonction dérivée/Équation d'une tangente
Exemple
[modifier | modifier le wikicode]On a tracé la courbe représentative d'une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique.
On donne :
et
Tracer la tangente à la courbe de ƒ au point
Calculer une équation de cette tangente en utilisant la formule donnant l'équation d'une droite connaissant un point et le coefficient directeur.
- On pose l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2.
- On sait que le nombre dérivé de ƒ en -2 vaut , donc
- La droite passe par le point de coordonnées , donc
- On aboutit à .
Finalement, l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2 est
Équation d'une tangente
[modifier | modifier le wikicode]On adapte la formule utilisée précédemment de façon à obtenir une formule donnant directement l'équation de la tangente à une courbe connaissant le nombre dérivé et la valeur de la fonction au point considéré.
La tangente est la droite passant par le point et de coefficient directeur .
Un autre point appartient à cette droite si et seulement si :
- ,
c'est-à-dire
- .
La tangente a donc bien pour équation
- .
Complément : si ou alors n’est pas dérivable en , mais la courbe a encore une tangente au point : la droite verticale d'équation .
Approximation affine d'une fonction dérivable en un point
[modifier | modifier le wikicode]![]() |
Pour voisin de , est proche de la fonction affine (la courbe est très proche de sa tangente).
![]() |
Cette approximation ne peut être faite qu'au voisinage du point d'abscisse car elle traduit le fait que, au voisinage de , la courbe de ƒ peut être assimilée à sa tangente avec peu d'erreur. |
Cette propriété est utile pour les méthodes de résolution numérique d'équations différentielles comme la méthode d'Euler.