Fonction exponentielle/Exercices/Désintégration des corps radioactifs
La « vitesse de désintégration » d'un corps radioactif, c'est-à-dire le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant une seconde,
est proportionnelle au nombre de noyaux présent à l'instant t.
On peut donc écrire :
où est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié.
La loi de désintégration
[modifier | modifier le wikicode]On note le nombre de noyaux d'un échantillon du corps radioactif à l'instant .
Montrer que pour tout réel t, .
C'est la loi de désintégration radioactive.
On retrouve une équation différentielle de la forme y'=ay la solution N(t) de l'équation est donc de la forme donc
(On peut aussi rappeler la définition du chapitre 1 : cas général)
Donc .
Étude de la fonction N
[modifier | modifier le wikicode]1. Étudier le sens de variation de la fonction N sur .
2. Étudier la limite de la fonction N en .
3. Dresser le tableau de variation de la fonction N.
1. Étudions la derivée de N(t) : . N0 et sont positif et est négatif donc
N(t) est donc decroissante sur
2.
Exemples
[modifier | modifier le wikicode]1. Avec t en milliers d'années la constante caractéristique du carbone 14 est .
Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction sur .
2. Utiliser la fonction trace pour déterminer la période de demi-vie,
c'est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste que la moitié du carbone.
3. Pour l'uranium-238, et pour l'iode-131, .
Déterminer leur période de demi-vie à l'aide de la calculatrice.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?