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Exercice : Étude de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
ƒ est la fonction définie sur
par :
- pour tout
.
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en
.
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de
et
.
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur
et, pour tout
:
![{\displaystyle f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b3b4616146af78f94664c14572f9a9a2bbe036)
Or, pour tout
donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
|
2. Étudier la limite de ƒ en
.
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eee3e7e5dd71c2948a5e3b1653aeae74893601)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4108566485a7c3c58a7035610ce9aaf885623a)
Donc
|
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
![{\displaystyle x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ffa258840adf3b3ab3fc8711c95892f3b41aab)
- une partie qui tend vers 0 :
![{\displaystyle x\mapsto e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299f682b452a48043ff339d9bed3815fad4ef160)
Si on pose
, définie sur
et de représentation graphique
, on a :
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb0eb21ccf1ad228ee14ffac94f1f3e5a9fe275)
4. Étudier les positions relatives de
et
.
- Pour tout
, grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
|
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à
au point d'abscisse 2 est :
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53f4aa3e378d7c08fd78f8c8eb27623de3bf5db)
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
|
ƒ est la fonction définie sur
par :
- pour tout
.
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en
.
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de
et
.
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur
et, pour tout
:
![{\displaystyle f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e8f380c026557ff48342fd3e3d467c540ecc2d)
Or, pour tout
donc
On en déduit que ƒ est croissante.
|
2. Étudier la limite de ƒ en
.
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ef84ea63b70d73d030798e6d69add1e674d387)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c40da56ed455def7859e586f4b67af95b10e5d)
Donc
|
3. Démontrer que la courbe représentative
de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
![{\displaystyle x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dcbf87bc97a8db92fb0b7665b1e07a45f83c2f)
- une partie qui tend vers 0 :
![{\displaystyle x\mapsto 2e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a8f5711ee76d24d59f0868bcf550d4c158be85)
Si on pose
, définie sur
et de représentation graphique
, on a :
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb0eb21ccf1ad228ee14ffac94f1f3e5a9fe275)
4. Étudier les positions relatives de
et
.
- Pour tout
, grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
|
5. Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à
au point d'abscisse 2 est :
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ed24f50e875566e2f4abc5701c3d855d9d6d59)
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
|
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
Solution
Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur
.
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53659b4d1744fd55bfbef612e9b14df42a6d3657)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177c6989ede2fc9aa95a88da1ab8c280a2eeaeb7)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c743b674bab0d2e72426751fbd36b11393ac59e8)
2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}=x^{2}e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6717c9b2b45f5c5dd5185ad44f2378dfba7354)
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53659b4d1744fd55bfbef612e9b14df42a6d3657)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177c6989ede2fc9aa95a88da1ab8c280a2eeaeb7)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd5f95876b099a3bca1990b926c3e4db031aab8)
3.
- On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{-3x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7186830bc8601eeb231690de0e895014cc0d7945)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto -3e^{-3x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147fc0be82ca8c156ddd178f11648e84dcbae6a9)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times (-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ebfa3aee1dd97a39163d2e909bf3e16161018f)
4.
- La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée.
- On a
![{\displaystyle f_{4}:x\mapsto {\frac {7}{3}}xe^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c1e05795ac97836e56fa9ea36397f3edc07337)
- On pose sur
la fonction ![{\displaystyle u:x\mapsto xe^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07e0d46c25b73409f58b3629baf6f165a73f103)
- On dérive
selon
:
- La dérivée de
est définie par ![{\displaystyle u':x\mapsto e^{-x}-xe^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821d233781c84264858b7b8629a24ed7db37cdc4)
- On obtient
![{\displaystyle f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}(e^{-x}-xe^{-x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbdfc8552fa72c47a9a848f06ca1789191a14a2)
- Soit, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}e^{-x}(1-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2116c154afec4d1218b3e315460742bb43710d4d)
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Solution
1.
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c854fbe9bbe3386e585a6e7d6600d3da9e8cd)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto -e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f8f798f9e604f669270d3f08a357f198a6085c)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b4ec672a5153fa21753a70b9cae6a4518de354)
2.
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53659b4d1744fd55bfbef612e9b14df42a6d3657)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177c6989ede2fc9aa95a88da1ab8c280a2eeaeb7)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^{2})=(x^{2}+2x)e^{(}-x)=x(x+2)(e^{-}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ffb84656d5526e9856100ecfbebb243ad9ddd9)
3.
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{-4x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb178b48d76bd50681fa8d6a8f23c37c733fe12b)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto -4e^{-4x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757617d6dd357297e6dbc69e84f6d09d6a5e73e7)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45137aaf31ec243b32f88c6bc71c6c0dd0a01e43)
4.
- On pose sur
la fonction ![{\displaystyle u:x\mapsto 2x+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fd47822c8b49e19d9537331e3050f14da3eb18)
- Sa dérivée est définie par
![{\displaystyle u':x\mapsto 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297311c4a51970edd017a0710ac3c56b35c548bf)
- Comme
, on a pour tout ![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3780f09aa7f0775a09dff981367a079efa68fc1)
5.
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{5}'(x)=-12e^{-4x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4818b3bdb2ea362f332b62b5712e69cbd4703f)
6.
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{2x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf55093724269f58702e5fd0bc24f9507044199)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto 2e^{2x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939fbd488d4718f6d23e3eb71d40ee69d1ffdbc0)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{6}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592049e4ac6dc80e8c524edfd2ba9ff63b542506)
7.
- On pose sur
les fonctions
et ![{\displaystyle v:x\mapsto e^{\frac {x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01f774703c71b8af87870696c017a14869fb23e)
- Leurs dérivées sont définies par
et ![{\displaystyle v':x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{\frac {x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ba364b51402328c397471eaae6601ceb6a6b63)
- Finalement, pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{7}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left({\frac {3}{2}}x+3\right)e^{\frac {x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf4302a3d6febe07bbd00a451fb8f2c80b0777a)
Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ la fonction définie sur
par :
- pour tout
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fdd1da04bf9956ad231b113a287e1d2cdfba9f)
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout
.
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en
.