Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices

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Notations et rappels

L'ensemble $K$ est un corps commutatif, $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ et $K^{n,m}$, l'espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $K$. Si $\mathbf {A} \in K^{n,m}$ a pour coefficients $a_{ij}$, on notera :

$\mathbf {A} ={(a_{ij})}_{i,j}\qquad i\in \{1,\ldots ,n\},\quad j\in \{1,\ldots ,m\}$

où $i$ désigne l'indice de ligne et $j$, l'indice de colonne. La matrice $\mathbf {A} ^{T}$ désigne la transposée de la matrice $\mathbf {A}$ : $\mathbf {A} ^{T}\in K^{m,n}$ et :

$a_{ij}^{T}=a_{ji}\qquad i=1,\ldots ,n,\quad j=1,\ldots ,m$.

La matrice $\mathbf {A} ^{*}$ est l'adjointe de la matrice $\mathbf {A}$ :

$\mathbf {A} ^{*}={\bar {\mathbf {A} }}^{T}$

Lorsque $m=n$ et $\mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}$, si $\lambda _{i}$, $i=1,\ldots ,n$ sont les valeurs propres dans $\mathbb {C}$ de $\mathbf {A}$ alors le rayon spectral de $\mathbf {A}$ est :

$\rho (\mathbf {A} )=\max _{i=1,\ldots ,n}|\lambda _{i}|$

et sa trace est :

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$.

$\mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}$ est dite

• positive si $\forall x\in \mathbb {C} ^{n}:\quad (\mathbf {A} x,x)\geq 0$ ;
• définie positive si $\forall x\in \mathbb {C} ^{n},\quad x\neq 0:\quad (\mathbf {A} x,x)>0$ ;

La matrice $\mathbf {I}$ désigne la matrice identité dans $\mathbb {C} ^{n,n}$. De plus, une matrice $\mathbf {A}$ est dite

• diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\neq j$ ;
• bande $(p,q)$ si $a_{ij}=0$ pour $i\geq j+p$ et $j\geq i+q$.

Elle est dite $(2l+1)$-diagonale si c’est une matrice bande $(l+1,l+1)$, c'est-à-dire $a_{ij}=0$ pour $i\geq j+l+1$ et $j\geq i+l+1$. Il est aussi important de se souvenir des propriétés suivantes :

• une matrice $\mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}$ hermitienne, c'est-à-dire telle que $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}$, a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de $\mathbb {C} ^{n}$ de vecteurs propres de $\mathbf {A}$ : $\mathbf {A}$ est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;
• une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ;
• pour une matrice $\mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}$, il existe une matrice inversible $\mathbf {P} \in \mathbb {C} ^{n,n}$ telle que la matrice $\mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P}$ soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan $\mathbf {J} _{p}$ d'ordre $n_{p}$, c'est-à-dire telle que :

$\mathbf {J} _{p}={\begin{pmatrix}\lambda _{p}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{p}&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\lambda _{p}&1&0\\\vdots &&\ddots &\lambda _{p}&1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{p}\end{pmatrix}}$.

Normes matricielles

Définition : norme matricielle

On appelle norme matricielle sur $K^{n,n}$, toute application de $K^{n,n}\to \mathbb {R} ^{+}$ notée $\mathbf {A} \mapsto ||\mathbf {A} ||$ possédant les propriétés suivantes :

1. $||\cdot ||$ est une norme ;
2. $\forall \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in K^{n,n}\quad ||\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ||\leq ||\mathbf {A} ||\;||\mathbf {B} ||$.

Début de l'exemple

Exemple : norme de Schur

Si $\mathbf {A} ={(a_{ij})}\in K^{n,n}$, sa norme de Schur, ou de Frobenius, est définie par :

$\|\mathbf {A} \|_{S}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}$.

Fin de l'exemple

Norme subordonnée

Rappelons (cf. § « Cas particulier des applications linéaires » du cours sur les espaces vectoriel normés) qu'étant donnée une norme $||\cdot ||$ sur l'espace vectoriel $K^{n}$, l’application encore notée $||\cdot ||$ et définie par :

$\mathbf {A} \in K^{n,n}\rightarrow ||\mathbf {A} ||=\sup _{x\in K^{n},x\neq 0}{\frac {||\mathbf {A} x||}{||x||}}$

est une norme matricielle.

Cette norme, dite subordonnée à la norme vectorielle $||\cdot ||$ donnée, vérifie :

$||\mathbf {A} ||=\sup _{0\leq ||x||\leq 1}||\mathbf {A} x||=\sup _{\|x\|=1}||\mathbf {A} x||$.

Notations

Pour $p$ tel que $1\leq p\leq +\infty$, on notera $||\mathbf {A} ||_{p}$ la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle $||x||_{p}$ définie par :

• si $1\leq p<+\infty$,

  $||x||_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$ ;

• si $p=+\infty$,

  $||x||_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,n}|x_{i}|$.

Proposition

Si $\mathbf {A} =(a_{ij})\in K^{n,n}$, nous avons :

• $||\mathbf {A} ||_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|$ ;
• $||\mathbf {A} ||_{2}={\bigl (}\rho (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} ){\bigr )}^{1/2}$ ;
• $||\mathbf {A} ||_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$.

Remarques

1. Une norme matricielle n’est pas nécessairement subordonnée à une norme vectorielle, comme la norme de Schur pour laquelle $||\mathbf {I} ||_{S}={\sqrt {n}}$.
2. Par définition d'une norme subordonnée, nous avons :

   $\forall x\in K^{n},\quad \forall \mathbf {A} \in K^{n,n},\quad ||\mathbf {A} x||\leq \|\mathbf {A} \|\;||x||$.

   Inversement, étant donnée une norme matricielle $||\cdot ||$ sur $K^{n,n}$, il existe toujours une norme vectorielle $||\cdot ||$ telle que la majoration ci-dessus soit vérifiée. On peut choisir par exemple :

   $\forall x\in K^{n},\quad ||x||=\left\|{\begin{pmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x_{n}&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}\right\|$.

   L'axiome 2 de la définition des normes matricielles implique en effet que $||\mathbf {A} x||\leq \|\mathbf {A} \|\;||x||$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\mathbf {A} \in K^{n,n}$ alors pour toute norme matricielle $||\cdot ||$, nous avons $\rho (\mathbf {A} )\leq ||\mathbf {A} ||$.

Fin du théorème

En général, $\rho (\mathbf {A} )\neq ||\mathbf {A} ||$. Cependant, si $\mathbf {A}$ est hermitienne alors $\rho (\mathbf {A} )=||\mathbf {A} ||_{2}$ car $||\mathbf {A} ||_{2}={\bigl (}\rho (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} ){\bigr )}^{1/2}$ (cf. proposition ci-dessus), or $\lambda _{i}(\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )={\bigl (}\lambda _{i}(\mathbf {A} ){\bigr )}^{2}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\mathbf {A} \in K^{n,n}$. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe une norme matricielle $||\cdot ||$ subordonnée à une norme vectorielle telle que $||\mathbf {A} ||\leq \rho (\mathbf {A} )+\varepsilon$.

Fin du théorème