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Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices

Leçons de niveau 16
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Généralités sur les matrices
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Chapitre no 3
Leçon : Analyse numérique et calcul scientifique
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Notations et rappels

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L'ensemble est un corps commutatif, ou et , l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans . Si a pour coefficients , on notera :

désigne l'indice de ligne et , l'indice de colonne. La matrice désigne la transposée de la matrice  : et :

.

La matrice est l'adjointe de la matrice  :

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Rayon spectral ».

Lorsque et , si , sont les valeurs propres dans de alors le rayon spectral de est :

et sa trace est :

.
descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Matrice positive ».
descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Matrice définie positive ».

est dite

  • positive si  ;
  • définie positive si  ;

La matrice désigne la matrice identité dans . De plus, une matrice est dite

  • diagonale si pour  ;
  • bande si pour et .

Elle est dite -diagonale si c’est une matrice bande , c'est-à-dire pour et . Il est aussi important de se souvenir des propriétés suivantes :

  • une matrice hermitienne, c'est-à-dire telle que , a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de de vecteurs propres de  : est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;
  • une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ;
  • pour une matrice , il existe une matrice inversible telle que la matrice soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan d'ordre , c'est-à-dire telle que :
.

Normes matricielles

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Norme subordonnée

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Rappelons (cf. § « Cas particulier des applications linéaires » du cours sur les espaces vectoriel normés) qu'étant donnée une norme sur l'espace vectoriel , l’application encore notée et définie par :

est une norme matricielle.

Cette norme, dite subordonnée à la norme vectorielle donnée, vérifie :

.




Début d’un théorème
Fin du théorème


En général, . Cependant, si est hermitienne alors car (cf. proposition ci-dessus), or .


Début d’un théorème
Fin du théorème