Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices

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Notations et rappels

L'ensemble $K$ est un corps commutatif, $ℝ$ ou $ℂ$ et $K^{n,m}$, l'espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $K$. Si $𝐀\in K^{n,m}$ a pour coefficients $a_{ij}$, on notera :

$𝐀={(a_{ij})}_{i,j}i\in \{1,\dots ,n\},j\in \{1,\dots ,m\}$

où $i$ désigne l'indice de ligne et $j$, l'indice de colonne. La matrice ${𝐀}^T$ désigne la transposée de la matrice $𝐀$ : ${𝐀}^T\in K^{m,n}$ et :

$a_{ij}^T=a_{ji}i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,m$.

La matrice ${𝐀}^{\ast }$ est l'adjointe de la matrice $𝐀$ :

${𝐀}^{\ast }={\overline{𝐀}}^T$

Lorsque $m=n$ et $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$, si ${\lambda }_i$, $i=1,\dots ,n$ sont les valeurs propres dans $ℂ$ de $𝐀$ alors le rayon spectral de $𝐀$ est :

$\rho (𝐀)=\underset{i=1,\dots ,n}{max}|{\lambda }_i|$

et sa trace est :

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$.

$𝐀\in {ℂ}^{n,n}$ est dite

• positive si $\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n:(𝐀x,x)\ge 0$ ;
• définie positive si $\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^n,x\ne 0:(𝐀x,x)>0$ ;

La matrice $𝐈$ désigne la matrice identité dans ${ℂ}^{n,n}$. De plus, une matrice $𝐀$ est dite

• diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\ne j$ ;
• bande $(p,q)$ si $a_{ij}=0$ pour $i\ge j+p$ et $j\ge i+q$.

Elle est dite $(2l+1)$-diagonale si c’est une matrice bande $(l+1,l+1)$, c'est-à-dire $a_{ij}=0$ pour $i\ge j+l+1$ et $j\ge i+l+1$. Il est aussi important de se souvenir des propriétés suivantes :

• une matrice $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$ hermitienne, c'est-à-dire telle que $𝐀={𝐀}^{\ast }$, a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de ${ℂ}^n$ de vecteurs propres de $𝐀$ : $𝐀$ est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;
• une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ;
• pour une matrice $𝐀\in {ℂ}^{n,n}$, il existe une matrice inversible $𝐏\in {ℂ}^{n,n}$ telle que la matrice $𝐁={𝐏}^{-1}𝐀𝐏$ soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan ${𝐉}_p$ d'ordre $n_p$, c'est-à-dire telle que :

${𝐉}_p=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_p& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_p& 1& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & {\lambda }_p& 1& 0\\ ⋮& & \ddots & {\lambda }_p& 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& {\lambda }_p\end{array}\right)$.

Normes matricielles

Définition : norme matricielle

On appelle norme matricielle sur $K^{n,n}$, toute application de $K^{n,n}\to {ℝ}^{+}$ notée $𝐀\mapsto ||𝐀||$ possédant les propriétés suivantes :

1. $||\cdot ||$ est une norme ;
2. $\mathrm{\forall }𝐀,𝐁\in K^{n,n}||𝐀\cdot 𝐁||\le ||𝐀||||𝐁||$.

Début de l'exemple

Exemple : norme de Schur

Si $𝐀=(a_{ij})\in K^{n,n}$, sa norme de Schur, ou de Frobenius, est définie par :

$\Vert 𝐀{\Vert }_S=\sqrt{\sum _{i,j=1}^n|a_{ij}{|}^2}$.

Fin de l'exemple

Norme subordonnée

Rappelons (cf. § « Cas particulier des applications linéaires » du cours sur les espaces vectoriel normés) qu'étant donnée une norme $||\cdot ||$ sur l'espace vectoriel $K^n$, l’application encore notée $||\cdot ||$ et définie par :

$𝐀\in K^{n,n}\to ||𝐀||=\underset{x\in K^n,x\ne 0}{sup}\frac{||𝐀x||}{||x||}$

est une norme matricielle.

Cette norme, dite subordonnée à la norme vectorielle $||\cdot ||$ donnée, vérifie :

$||𝐀||=\underset{0\le ||x||\le 1}{sup}||𝐀x||=\underset{\Vert x\Vert =1}{sup}||𝐀x||$.

Notations

Pour $p$ tel que $1\le p\le +\mathrm{\infty }$, on notera $||𝐀|{|}_p$ la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle $||x|{|}_p$ définie par :

• si $1\le p<+\mathrm{\infty }$,

  $||x|{|}_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}$ ;

• si $p=+\mathrm{\infty }$,

  $||x|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{i=1,\dots ,n}{max}|x_i|$.

Proposition

Si $𝐀=(a_{ij})\in K^{n,n}$, nous avons :

• $||𝐀|{|}_1=\underset{j=1,\dots ,n}{max}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$ ;
• $||𝐀|{|}_2=(\rho ({𝐀}^{\ast }𝐀){)}^{1/2}$ ;
• $||𝐀|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{i=1,\dots ,n}{max}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$.

Remarques

1. Une norme matricielle n’est pas nécessairement subordonnée à une norme vectorielle, comme la norme de Schur pour laquelle $||𝐈|{|}_S=\sqrt{n}$.
2. Par définition d'une norme subordonnée, nous avons :

   $\mathrm{\forall }x\in K^n,\mathrm{\forall }𝐀\in K^{n,n},||𝐀x||\le \Vert 𝐀\Vert ||x||$.

   Inversement, étant donnée une norme matricielle $||\cdot ||$ sur $K^{n,n}$, il existe toujours une norme vectorielle $||\cdot ||$ telle que la majoration ci-dessus soit vérifiée. On peut choisir par exemple :

   $\mathrm{\forall }x\in K^n,||x||=\Vert \left(\begin{array}{cccc}{x}_1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\Vert$.

   L'axiome 2 de la définition des normes matricielles implique en effet que $||𝐀x||\le \Vert 𝐀\Vert ||x||$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $𝐀\in K^{n,n}$ alors pour toute norme matricielle $||\cdot ||$, nous avons $\rho (𝐀)\le ||𝐀||$.

Fin du théorème

En général, $\rho (𝐀)\ne ||𝐀||$. Cependant, si $𝐀$ est hermitienne alors $\rho (𝐀)=||𝐀|{|}_2$ car $||𝐀|{|}_2=(\rho ({𝐀}^{\ast }𝐀){)}^{1/2}$ (cf. proposition ci-dessus), or ${\lambda }_i({𝐀}^{\ast }𝐀)=({\lambda }_i(𝐀){)}^2$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $𝐀\in K^{n,n}$. Pour tout $\epsilon >0$, il existe une norme matricielle $||\cdot ||$ subordonnée à une norme vectorielle telle que $||𝐀||\le \rho (𝐀)+\epsilon$.

Fin du théorème