Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique

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Dual topologique
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Exercices no1
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

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Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique
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Wikipédia possède un article à propos de « Dual topologique ».

Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace topologique, l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, une suite de points de et une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout , on pose

.
  1. Montrer que est une forme linéaire continue sur , de norme .
  2. Montrer que .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Topologie faible ».
Wikipédia possède un article à propos de « Espace réflexif ».

On rappelle que , désigne l'espace des suites de nombres complexes telles que

.

Toute forme linéaire continue peut s'écrire

avec .

  1. Montrer que dans l'espace , le sous-espace des suites de support fini est dense.
  2. Montrer qu'une suite d'éléments de converge faiblement vers si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
    1. la suite est bornée ;
    2. pour tout entier , la suite converge vers (dans ).
  3. En déduire que toute suite bornée de admet une sous-suite faiblement convergente.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient H un espace de Hilbert et C un convexe de H. Montrer que C est fermé si et seulement s'il est faiblement séquentiellement fermé, c.-à-d. si pour toute suite dans C qui converge faiblement (dans H) vers , la limite appartient à C.

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient E un espace de Banach et une suite de E qui converge faiblement vers . Soient .

  1. Si (fortement), montrer que .
  2. Cette conclusion subsiste-t-elle si l'on suppose seulement que faiblement ?

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit E l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1]. On rappelle que par le théorème de Riesz-Markov, le dual topologique de E s'identifie à l'espace des mesures boréliennes finies sur [0, 1].

Soit la suite des fonctions définies par

  1. Montrer que la suite est décroissante et converge vers la fonction définie par si et .
  2. Montrer que pour tout , converge dans .
  3. En considérant les mesures de Dirac, montrer que n'est pas faiblement convergente dans E.

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit H un espace de Hilbert et C une partie de H, convexe, non vide, fermée et bornée. Soit une application telle que pour tout , .

  1. Soit . Pour tout , on définit , pour . Montrer que est strictement contractante, et en déduire qu'il existe un unique point tel que .
  2. Montrer qu'il existe une suite extraite de qui converge faiblement vers un certain .
  3. On pose (pour tout ) et . Montrer que pour tout , , et en déduire que .
  4. En déduire que .
  5. En déduire que la suite converge fortement vers , que , et que .