En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dual topologique Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient un espace topologique, l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, une suite de points de et une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout , on pose
On rappelle que , désigne l'espace des suites de nombres complexes telles que
.
Toute forme linéaire continue peut s'écrire
où avec .
Montrer que dans l'espace , le sous-espace des suites de support fini est dense.
Montrer qu'une suite d'éléments de converge faiblement vers si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
la suite est bornée ;
pour tout entier , la suite converge vers (dans ).
En déduire que toute suite bornée de admet une sous-suite faiblement convergente.
Solution
Tout élément est limite d'une suite d'éléments à support fini : .
Si faiblement dans , c'est-à-dire si pour tout , alors pour tout , est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, est alors bornée dans l'espace vectoriel normé , égal à d'après le théorème de Hahn-Banach. De plus, en appliquant l'hypothèse aux suites dont un terme vaut et les autres sont nuls, on trouve tout de suite que pour tout , . Réciproquement, supposons que les conditions 1 et 2 sont remplies. D'après le point 2, pour tout à support fini, . Grâce au point 1 (et à la question 1), on en déduit que faiblement dans .
Soit une suite bornée de . Par récurrence, on construit pour tout une sous-suite (extraite de celle au rang précédent) telle que pour tout , . Puis on applique le « procédé diagonal » : vérifie la condition 2, et bien sûr la condition 1. On conclut grâce à la question précédente.
Soient H un espace de Hilbert et C un convexe de H. Montrer que C est fermé si et seulement s'il est faiblement séquentiellement fermé, c'est-à-dire si pour toute suite dans C qui converge faiblement (dans H) vers , la limite appartient à C.
Solution
Toute partie d'un e.v.n. qui est faiblement séquentiellement fermée est évidemment séquentiellement fermée donc fermée. Réciproquement, soit C un convexe fermé d'un Hilbert (réel) H, montrons que C est faiblement séquentiellement fermé. Soit faiblement, c'est-à-dire que , montrons que .
Première méthode. Soit la projection. donc (par convergence faible) donc .
Deuxième méthode. Tout espace de Hilbert est uniformément convexe (c'est-à-dire ) donc vérifie la propriété de Banach-Saks (c'est-à-dire que toute suite bornée admet une sous-suite Cesaro-convergente). Or toute partie A faiblement bornée (en particulier toute suite faiblement convergente) est bornée (d'après le th. de Banach-Schauder, qui montre que est borné, où est le plongement canonique, et celui de Hahn-Banach, qui dit que ). Donc a une sous-suite dont la suite des moyennes de Cesaro (qui est à valeurs dans C) converge. La limite est nécessairement , donc .
Troisième méthode. Tout e.v.n. vérifie le lemme de Mazur : si faiblement, il existe une suite de combinaisons linéaires des (donc à valeurs dans C si convexe) qui converge en norme vers .
Quatrième méthode (plus honnête, car Mazur l'utilise) : dans n'importe quel e.v.n., tout convexe fermé C est faiblement fermé (et a fortiori, faiblement séquentiellement fermé) car C est l'intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent. En effet, d'après la forme géométrique de Hahn-Banach, si , il existe un hyperplan séparant strictement de C.
Soient E un espace de Banach et une suite de E qui converge faiblement vers . Soient .
Si (fortement), montrer que .
Cette conclusion subsiste-t-elle si l'on suppose seulement que faiblement ?
Solution
et est bornée (cf. exercice précédent, deuxième méthode).
Non, sinon dans tout espace de Hilbert on aurait : si faiblement alors donc (propriété de Radon-Riesz) fortement, or dans , faiblement et . Ou moins savamment : non car par exemple dans , faiblement mais .
Soit E l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1]. On rappelle que par le théorème de Riesz-Markov, le dual topologique de E s'identifie à l'espace des mesures boréliennes finies sur [0, 1].
Soit la suite des fonctions définies par
Montrer que la suite est décroissante et converge vers la fonction définie par si et .
Montrer que pour tout , converge dans .
En considérant les mesures de Dirac, montrer que n'est pas faiblement convergente dans E.
est bornée (car à valeurs dans borné) + est réflexif.
donc , c'est-à-dire . La question suivante se réécrit : montrer que ou encore, d'après l'égalité précédente : montrer que , ce qui est vrai par hypothèse sur .
En faisant (pour fixé), on en déduit , c'est-à-dire .
Donc , en particulier , si bien que et donc (fortement). Comme est fermé et continue, et , or (car borné), d'où .