Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach

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Algèbres de Banach
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Exercices no2
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Dual topologique
Exo suiv. :Applications linéaires continues
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Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les algèbres considérées dans cet exercice seront supposées sur , commutatives, et possédant un élément unité .

  1. Si est une algèbre de Banach, montrer que tout morphisme d'algèbres est continu, de norme (remarquer que n'est pas inversible)
  2. Rappelons que d'après le théorème de Krull, tout élément non inversible d'une algèbre est contenu dans un idéal maximal de (donc dans le noyau d'un morphisme d'algèbres ).
    Soit une algèbre de Banach telle que pour tout , , il existe tel que ne soit pas inversible. Montrer que pour tout , , il existe un morphisme d'algèbres tel que .
  3. Soient et des algèbres de Banach et un morphisme d'algèbres.
    1. Soit une suite de convergeant vers telle que la suite converge vers . Montrer que pour tout morphisme d'algèbres , (utiliser la question 1 pour et ).
    2. Si l'algèbre vérifie l'hypothèse de la question 2, en déduire que est continu.
  4. Déduire de ce qui précède que sur une algèbre vérifiant l'hypothèse de la question 2, deux normes d'algèbre de Banach sont nécessairement équivalentes.
  5. Soit () l'algèbre des fonctions de classe . On sait que c'est une algèbre de Banach pour la norme
    .
    1. Montrer que cette algèbre vérifie l'hypothèse de la question 2.
    2. On considère une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions de classe et l'on suppose que sur , il existe une norme d'algèbre de Banach. Montrer qu'alors, il existe une suite de réels telle que
      (appliquer la question 3.2 à l'injection canonique de dans ).