Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach

Exercice 2-1

Toutes les algèbres considérées dans cet exercice seront supposées sur $ℂ$, commutatives, et possédant un élément unité $e\ne 0$.

1. Si $E$ est une algèbre de Banach, montrer que tout morphisme d'algèbres $T:E\to ℂ$ est continu, de norme $\le 1$ (remarquer que $T(x)e-x$ n'est pas inversible)
2. Rappelons que d'après le théorème de Krull, tout élément non inversible d'une algèbre $E$ est contenu dans un idéal maximal de $E$ (donc dans le noyau d'un morphisme d'algèbres $T:E\to ℂ$).
   Soit $E$ une algèbre de Banach telle que pour tout $x\in E$, $x\ne 0$, il existe $\lambda \ne 0$ tel que $\lambda e-x$ ne soit pas inversible. Montrer que pour tout $x\in E$, $x\ne 0$, il existe un morphisme d'algèbres $T:E\to ℂ$ tel que $Tx\ne 0$.
3. Soient $E$ et $F$ des algèbres de Banach et $f:E\to F$ un morphisme d'algèbres.
   1. Soit $(x_n)$ une suite de $E$ convergeant vers $0$ telle que la suite $(f(x_n))$ converge vers $y$. Montrer que pour tout morphisme d'algèbres $T:F\to ℂ$, $Ty=0$ (utiliser la question 1 pour $T$ et $T\circ f$).
   2. Si l'algèbre $F$ vérifie l'hypothèse de la question 2, en déduire que $f$ est continu.
4. Déduire de ce qui précède que sur une algèbre vérifiant l'hypothèse de la question 2, deux normes d'algèbre de Banach sont nécessairement équivalentes.
5. Soit ${𝒞}^k:={𝒞}^k([0,1])$ ($k\in \mathbb{N}$) l'algèbre des fonctions $f:[0,1]\to ℂ$ de classe ${𝒞}^k$. On sait que c'est une algèbre de Banach pour la norme

   $\Vert f\Vert :=\sum _{j=0}^k\frac{1}{j!}\underset{0\le t\le 1}{sup}|{\mathrm{D}}^{j}f(t)|$.

   1. Montrer que cette algèbre vérifie l'hypothèse de la question 2.
   2. On considère une sous-algèbre $E$ de l'algèbre ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}([0,1])$ des fonctions $f:[0,1]\to ℂ$ de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ et l'on suppose que sur $E$, il existe une norme d'algèbre de Banach. Montrer qu'alors, il existe une suite $(M_j)$ de réels telle que

      $\mathrm{\forall }f\in E\mathrm{\exists }c\ge 0\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}\underset{0\le t\le 1}{sup}|{\mathrm{D}}^{j}f(t)|\le c{M}_j$

      (appliquer la question 3.2 à l'injection canonique de $E$ dans ${𝒞}^k$).

Solution

1. Pour tout $x\in E$, $T(T(x)e-x)=0$ donc $T(x)e-x$ n'est pas inversible donc $|T(x)|\le \Vert x\Vert$.
2. Soit (d'après le rappel) un morphisme d'algèbres $T:E\to ℂ$ tel que $T(\lambda e-x)=0$. Alors, $T(x)=\lambda \ne 0$.
3. 1. $T(f(x_n))\to T(y)$ et $T\circ f(x_n)\to T\circ f(0)=0$, donc $T(y)=0$.
   2. Si l'algèbre $F$ vérifie l'hypothèse de la question 2, on en déduit que $y=0$. Donc si $x_n\to 0$ et si $(f(x_n))$ converge alors elle converge vers $0$. D'après le théorème du graphe fermé, cela suffit à prouver que $f$ est continu.
4. Sur une algèbre $E$ vérifiant l'hypothèse de la question 2, soient $N_1$ et $N_2$ deux normes d'algèbre de Banach. D'après ce qui précède, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E:(E,N_1)\to (E,N_2)$ et ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E:(E,N_2)\to (E,N_1)$ sont continues, ce qui revient à dire que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes.
5. 1. Soit $f\in {𝒞}^k$ non nulle. Soit $t\in [0,1]$ tel que $\lambda :=f(t)\ne 0$. Alors, $\lambda e-f$ n'est pas inversible.
   2. Soit $N$ la norme sur $E$. Pour tout entier $k$, par continuité de l'injection canonique de $E$ dans ${𝒞}^k$, il existe un réel $A_k$ tel que
      $\mathrm{\forall }f\in E\frac{1}{k!}\underset{0\le t\le 1}{sup}|{\mathrm{D}}^{k}f(t)|\le \sum _{j=0}^k\frac{1}{j!}\underset{0\le t\le 1}{sup}|{\mathrm{D}}^{j}f(t)|\le A_{k}N(f)$,
      d'où le résultat, en posant $M_k=k!A_k$ et $c=N(f)$.