Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues

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Applications linéaires continues
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Exercices no3
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Algèbres de Banach
Exo suiv. :Topologie
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Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux espaces de Banach et . On suppose que est un isomorphisme et . Montrer qu'il existe tel que pour tout scalaire de module , soit un isomorphisme. (Utiliser le début de Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité#Exercice 2.)

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Opérateur compact ».

Soient et deux espaces de Banach. On dit qu'un opérateur linéaire est compact si est relativement compact dans (c'est-à-dire d'adhérence compacte). On désigne par le sous-espace vectoriel des opérateurs compacts de dans .

  1. Soit une suite d'éléments de , convergeant vers . Montrer que est précompact. (On en déduit qu'il est relativement compact — puisque est complet — et par conséquent est fermé dans .)
  2. Soit un espace de Banach. Si et , montrer que .
  3. Soit . Montrer que le sous-espace est de dimension finie (montrer que la boule unité fermée de ce sous-espace est compacte).

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'espace de Banach muni de la norme .

Soit une fonction continue sur , bornée par .

On définit une application linéaire par .

Pour tout , on note l'application itérée fois de , c.-à-d. .

  1. Montrer que pour tout , , pour tout .
  2. Soient et . Montrer que la série est convergente dans .
  3. En déduire que l'équation de Volterra, , possède une unique solution dans .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite de nombres complexes et soit l'application linéaire de dans lui-même () définie par

.
  1. Montrer que est continue si et seulement si est bornée.
  2. On suppose que tend vers 0. Montrer que est un opérateur compact (voir supra). Indication : on pourra introduire la suite des opérateurs définis par si et sinon.
  3. Réciproquement, on suppose que ne tend pas vers 0. En raisonnant par l'absurde, montrer que n'est pas compact.

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit muni de la norme uniforme, et une application continue. Soit l'application linéaire qui à associe définie par

.
  1. Montrer que est continue.
  2. Montrer que peut être approximée uniformément par une suite de polynômes à deux variables, que l'on notera .
  3. On définit l'application qui à associe définie par . Montrer que est un opérateur de rang fini pour tout .
  4. Montrer que , ce qui prouve que est un opérateur compact (voir supra).