Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux
Apparence
Soit E un espace préhilbertien réel, dont le produit scalaire est noté et la norme associée, .
Projection sur un sous-espace vectoriel
[modifier | modifier le wikicode]Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie.
Définition
On appelle projecteur orthogonal sur F, et l'on note , le projecteur sur F parallèlement à .
Démonstration
- donc
- On applique le théorème de Pythagore : , d'où .
- On a égalité si et seulement si , ce qui équivaut à donc à .
- et donc
- .
Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit .
- La distance de à vaut .
- .
- est l'unique vecteur y de F vérifiant .
Décomposition sur une somme directe de sous-espaces vectoriels
[modifier | modifier le wikicode]Généralisation
Soit une famille de r sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux deux à deux et telle que .
On note la famille de projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition, c'est-à-dire que est le projecteur orthogonal sur Fi.
- .
- .