Leçons de niveau 15

Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers

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Exercices divers
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Exercices no5
Leçon : Espace préhilbertien réel

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Calcul d'intégrales
Exo suiv. :Exercices sur le produit scalaire
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Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

.

On pose .

  1. Vérifier que est un produit scalaire sur E.
  2. On pose et .
    1. Vérifier que V et W sont orthogonaux.
    2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
  3. On pose . Calculer .

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux vecteurs de . On pose .

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de sur .

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit continue strictement positive.

  1. Démontrer l'existence d'une famille de polynômes telle que et .
  2. Démontrer qu'alors, chaque polynôme admet racines simples dans .