En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Exercices divers
Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
.
On pose
.
- Vérifier que
est un produit scalaire sur E.
- On pose
et
.
- Vérifier que V et W sont orthogonaux.
- Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
- On pose
. Calculer
.
Solution
- On reconnait
comme étant la restriction du produit scalaire canonique sur
:
- la bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale ;
- la symétrie est évidente ;
- cette forme est définie positive car pour toute fonction
non nulle,
.
est donc bien un produit scalaire sur
et, par restriction, sur E. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé
par
(la définition de
garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe
) sans changer un iota de ce qui suit.
-
- Soient
et
. Une intégration par parties donne :
.
- Soit
. Notons
, et cherchons
tels que la fonction
(qui appartient à
donc à
) vérifie :
. Ainsi,
sera le projeté orthogonal de
sur
(et cela prouvera de plus que
et
sont non seulement orthogonaux, mais supplémentaires). La condition sur
est :
et ![{\displaystyle \lambda \mathrm {e} +\mu \operatorname {e} ^{-1}=\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7612259570fc145be6995846aeef38efd5c49d)
- donc la solution est :
.
- Soit
. Alors,
donc
est égal, avec les notations de la réponse 2.2, à
.
Soient
et
deux vecteurs d'un espace préhilbertien
. On pose
.
Déterminer les bornes inférieure et supérieure de
sur
.
Soient
un espace préhilbertien de dimension
,
un vecteur unitaire de
,
et
définie par
.
Démontrer que
est une forme quadratique sur
. Pour quels
est-elle définie positive ?
Soit
continue strictement positive.
- Démontrer l'existence d'une famille
de polynômes telle que
et
.
- Démontrer qu'alors, chaque polynôme
admet
racines simples dans
.
Solution
- L'application
est un produit scalaire sur
. En appliquant à la base canonique
l'algorithme de Gram-Schmidt, on obtient une base
de
orthonormée pour ce produit scalaire.
- Soit m ≤ n le nombre des points de
où Pn change de signe ; notons
ces points (ce sont les racines de Pn d'ordre impair appartenant à
). On va montrer que m = n. Soit
; ce polynôme de degré m change de signe en chaque point xj ; le polynôme SPn est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur
sauf aux points xj, et il en est donc de même du produit
. Ainsi, le réel
— l'intégrale de ce produit — est non nul. Mais par construction, Pn est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de S doit être n.
Soient
l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans
de classe C1 et
l'application définie sur
par :
.
Montrer que
est une norme euclidienne sur
et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée.
Soit
un espace vectoriel euclidien. Les similitudes de
sont les automorphismes de
qui conservent l'orthogonalité :
.
Elles forment un sous-groupe de
. On considère par ailleurs le normalisateur de
:
.
- Montrer que
est inclus dans
(on pourra utiliser, sans le redémontrer, le fait que, pour toute similitude
, il existe un unique couple
tel que
).
- On souhaite montrer l'inclusion réciproque. Soit
et
deux vecteurs orthogonaux de
.
- Montrer qu'il existe une symétrie orthogonale
telle que
et
. Soient
et
les sous-espaces propres de
associés à
et
respectivement (donc
et
).
- (Re)démontrer que
et que
.
- Montrer que
est d'une part une transformation orthogonale, d'autre part une symétrie. On notera
et
les sous-espaces propres de
associés à
et
respectivement. En déduire que
et
sont en somme directe et sont orthogonaux.
- Montrer que
et
.
- Conclure.
- D'après la question 2.4,
définit par restriction une application linéaire de
dans
d'une part, une application linéaire de
dans
d'autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.
Solution
- Soit
avec
et
. Pour tout
on a
.
-
- Puisque
, il existe
supplémentaires orthogonaux tels que
et
(par exemple
le s.e.v. engendré par
et
). La symétrie orthogonale par rapport à un tel
répond à la question.
- D'une part
est une symétrie, donc
, donc le polynôme
annule
, donc
est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à
, donc
. D'autre part
donc
donc
, donc
.
- D'une part
et
donc (par définition de
)
. D'autre part
donc
est une symétrie. Donc
est une symétrie orthogonale donc (cf. sous-question précédente)
et
sont supplémentaires orthogonaux.
. En particulier
donc
et
donc
.
- D'après la sous-question 4 précédente,
et
donc d'après la sous-question 3,
. On a donc prouvé (pour tout
) que si
alors
, c'est-à-dire que
. Donc
.
- Puisque
, on a
donc (en remplaçant
par
et échangeant les rôles de
et
dans 2.4)
. La restriction de
, de
dans
, est donc un isomorphisme (dont l'isomorphisme réciproque est la restriction de
, de
dans
). Idem en remplaçant
par
.