Leçons de niveau 13

Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés

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Pyramide à base carrée.
Exercices guidés
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Exercices no2
Leçon : Droites et plans de l'espace

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Droites et plans
Exo suiv. :Sommaire
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Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés
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Soit une pyramide à base carrée SABCD (voir figure ci-dessus).

Cette pyramide est régulière : les 4 faces latérales sont des triangles isocèles et le sommet est à « l’aplomb » du centre O de la base.

Nous étudierons les effets d'un « troncage » parallèle à la base, qui présente une section IJKL de centre O'.

Intersections de droites et plans dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]

  1. Les droites (AD) et (BC) sont-elles sécantes ?
  2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles coplanaires ?
  3. Les droites (AI) et (BJ) sont-elles sécantes ?
  4. Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points A, B, S, I et J.
  5. Démontrer que K appartient au plan (ADJ).
  6. Soit M le milieu de [BC]. Démontrer que (SM) et (AD) sont orthogonales.
  7. Démontrer que SIJKL est une pyramide régulière de hauteur [SO'].
  8. Construire géométriquement le point L à partir des seuls points S, A, B, C et I.

Géométrie vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Champ vectoriel.jpg

Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où I', J', K' et L' sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].

On note M, N, P et Q les milieux respectifs de [BC], [CD], [AD] et [AB] et le vecteur .

  1. Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine I'.
  2. Indiquer tous les représentants visibles sur la figure.
  3. Démontrer que et sont colinéaires
  4. En déduire que et ne sont pas colinéaires.
  5. Quelles sont les coordonnées du point N dans le repère du plan (ACD) ?
  6. Soit . Donner un troisième vecteur tel que soit un repère de l'espace.
  7. Même question mais avec la contrainte supplémentaire : repère orthogonal.
  8. Dans le plan vectoriel , on considère les deux bases et . Soit un vecteur de coordonnées dans la première base et dans la seconde. Exprimer en fonction de .

Projeté orthogonal sur un plan[modifier | modifier le wikicode]

Pour la suite de l'exercice, on suppose que OB = 1. On donnera les résultats en fonction du paramètre h = OS > 0 (hauteur de la pyramide).

On se place dans le repère orthonormé et l'on s'intéresse au plan SBC, et au projeté orthogonal H de O sur ce plan.

  1. Donner une équation cartésienne du plan (SBC).
  2. En déduire les coordonnées de H.
  3. En déduire le rayon OH de la demi-sphère de centre O inscrite dans la pyramide.
  4. Quelle courbe décrit H ?