En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Exercices guidés Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points A, B, S, I et J.
Démontrer que K appartient au plan (ADJ).
Soit M le milieu de [BC]. Démontrer que (SM) et (AD) sont orthogonales.
Démontrer que SIJKL est une pyramide régulière de hauteur [SO'].
Construire géométriquement le point L à partir des seuls points S, A, B, C et I.
Solution
Non car (ABCD) est un carré donc un parallélogramme.
Bien sûr, puisqu'elles sont parallèles.
I est un point de (AS) et J un point de (BS) donc (AI) et (BJ) sont égales à (AS) et (BS), sécantes en S.
Il suffit d'en choisir 3 non alignés : (ABS) = (ABI) = (ABJ) = (IJS) =…
Par hypothèse, (JK) est parallèle à (BC) donc à (AD). Par conséquent, elle est incluse dans le plan (ADJ).
Par hypothèse, (SM) est la médiatrice de [BC]. Par conséquent, elle est orthogonale à (BC) donc à (AD).
D'après les hypothèses, il existe une homothétie de centre S qui transforme le carré ABCD en un carré IJKL, donc qui envoie les 4 faces latérales isocèles de SABCD sur des triangles isocèles et le carré ABCD sur un carré, donc le centre O du premier sur le centre O' du second. De plus, la droite (SO') = (SO) est perpendiculaire au plan (ABCD) donc au plan (IJKL).
On construit le symétrique D de B par rapport au milieu de [AC]. L est alors à l'intersection de (SD) avec la parallèle à (AD) issue de I.
Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où I', J', K' et L' sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].
On note M, N, P et Q les milieux respectifs de [BC], [CD], [AD] et [AB] et le vecteur .
Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine I'.
Indiquer tous les représentants visibles sur la figure.
Démontrer que et sont colinéaires
En déduire que et ne sont pas colinéaires.
Quelles sont les coordonnées du point N dans le repère du plan (ACD) ?
Soit . Donner un troisième vecteur tel que soit un repère de l'espace.
Même question mais avec la contrainte supplémentaire : repère orthogonal.
Dans le plan vectoriel , on considère les deux bases et . Soit un vecteur de coordonnées dans la première base et dans la seconde. Exprimer en fonction de .
Solution
.
.
.
(AC) n'est pas parallèle à (BC) donc n'est pas dirigée par , ni, par conséquent, par .
Les coordonnées de D et C sont respectivement (1, 0) et (0, 1) donc celles de leur milieu N sont .
Puisque est un repère du plan (ACD), on peut choisir par exemple où H est un point n'appartenant pas à ce plan, comme H = S.
Remarquons d'abord que (car ). Le vecteur est orthogonal à et (car ). Un point et trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux forment un repère orthogonal de l'espace.