Produit scalaire dans l'espace/Projection orthogonale et produit scalaire dans l'espace
Projections orthogonales dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Définition
- Soient P un plan et M un point de l'espace.
- La droite passant par M et perpendiculaire à P coupe P en M', le projeté orthogonal de M sur P.
- Soit D une droite et M un point de l'espace.
- Le plan passant par M et perpendiculaire à D coupe D en , le projeté orthogonal de M sur D.
Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Définition
Soient et deux vecteurs de l'espace.
Soient A, B et C trois points tels que et .
Le produit scalaire de et en tant que vecteurs de l'espace est
en tant que vecteurs du plan (ABC).
Expressions du produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]
Propriété
- Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) :
- si
- si
- Soit un repère orthonormé de l'espace ) dans lequel et ,
- On a alors :
Propriétés du produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]
Les propriétés de symétrie et de linéarité du produit scalaire sont conservées dans l'espace.