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Exercice : Droites et plans
Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Donner une équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées et dirigée par le vecteur de coordonnées .
Solution
- .
Donner une équation paramétrique de la droite D menée par le point (1,1,1), parallèle au plan d'équation et rencontrant la droite d'équation paramétrique
- .
Solution
Les coordonnées du point d'intersection des deux droites vérifient :
donc , et D a pour équation paramétrique :
- .
Donner une équation du plan P' perpendiculaire au plan P d'équation et contenant la droite D d'équation .
Solution
D a pour équation paramétrique
et P a pour vecteur normal , donc P' a pour équation paramétrique
et pour équation cartésienne
- .
Dans chacun des deux cas suivants, donner un paramétrage de la droite définie par les deux équations :
- ;
- .
Solution
Par exemple :
- ;
- .
Déterminer une représentation paramétrique puis un système d'équations cartésiennes de la droite passant par les points et .
Donner une équation cartésienne du plan passant par le point de coordonnées (1, 2, 3) et dont un vecteur normal a pour coordonnées (–1, 3, 5).
Solution
.
Déterminer une paramétrisation et une équation cartésienne du plan affine de :
- passant par et de direction où et ;
- passant par le point et orthogonal au vecteur .
Solution
- Une paramétrisation est donc une équation cartésienne est , soit .
(Variante : donc une équation cartésienne est …)
- Une équation cartésienne est , soit , donc une paramétrisation est par exemple .
On pose , et .
- Ces trois vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?
- Soit le point de coordonnées . On pose . Montrer que est un plan dont on donnera une équation.
- Donner des équations d'une droite incluse dans .
- La droite passant par et de vecteur directeur est-elle incluse dans le plan ? parallèle au plan ? Déterminer .
- Donner des équations et une paramétrisation de la droite orthogonale à passant par .
- Donner des équations du plan passant par parallèle à .
- Déterminer .
Solution
- Le déterminant est nul donc les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants. On peut remarquer que .
- et ne sont pas proportionnels et , et ne sont pas indépendants donc est combinaison linéaire de et donc est bien un plan de .
- Il suffit d'écrire comme l'intersection de et d'un autre plan. Par exemple la droite d'équations est incluse dans .
- Il est immédiat que la droite n'est pas incluse dans le plan car les coordonnées du point ne vérifient pas l'équation de qu'on vient de déterminer. On peut vérifier que la droite n'est pas parallèle au plan en montrant que son vecteur directeur n'est pas lié aux vecteurs directeurs de mais comme dans le cas contraire il faudra chercher les coordonnées du point d'intersection, résolvons directement le système.
donc
L'intersection de et est le point de coordonnées .
- La droite a pour vecteur directeur donc
- Le plan a pour équation donc le plan a pour équation soit .
- On sait que et sont sécants et que et sont parallèles donc et sont sécants or par définition, donc .
- Trouver une paramétrisation de la droite définie par les équations
- Trouver une paramétrisation du plan défini par l'équation : .
- La droite est-elle incluse dans le plan ?
- Existe-t-il un plan parallèle à qui contienne la droite ?
- Donner une équation cartésienne d'un plan qui contienne la droite .
- Déterminer l'intersection des plans et .
Solution
- Par exemple .
- Par exemple .
- Non, cf. question suivante.
- Non car le vecteur directeur de n'appartient pas au plan vectoriel d'équation .
- Par exemple .
- définit une droite affine (passant par l'origine et dirigée par ).
- Discuter suivant les valeurs des paramètres et l'intersection du plan d'équation et du plan dont une paramétrisation est donnée par
- Déterminer selon le paramètre , l'intersection du plan défini par avec la droite définie par
Solution
- .
- Si et , .
- Si et , .
- Si , soit , la droite paramétrée par
-
- Si , .
- Si , et sont sécants au point donné par .
- Soit le plan affine passant par le point et dirigé par le plan vectoriel engendré par et . Soit le plan affine d'équation . Déterminer la droite et décrire ses équations paramétrées et cartésiennes.
- Donner l'équation cartésienne du plan contenant et le point .
Solution
- (On peut prévoir que est une droite, car le vecteur , normal à , n'est pas normal à .)
est paramétré par () donc est le sous-ensemble correspondant aux paramètres vérifiant , c'est-à-dire .
On en déduit un paramétrage de : (),
d'où des équations cartésiennes, par exemple :
Deuxième méthode pour des équations cartésiennes de : puisqu'on a déjà l'équation de , lui adjoindre celle de , obtenue soit en éliminant ses paramètres (), soit en écrivant que les trois vecteurs sont liés, ce qui s'exprime à l'aide d'un déterminant, ou du produit scalaire de l'un des trois vecteurs par le produit vectoriel des deux autres.
Troisième méthode : choisir les équations cartésiennes de deux plans parmi ceux contenant . Une telle équation est de la forme avec tels que , c'est-à-dire et . On peut choisir par exemple ou , ce qui redonne
- avec tels que et , soit : .
Soient et les plans de d'équations respectives et .
- Montrer que est une droite , dont on donnera une paramétrisation.
- Donner une équation du plan perpendiculaire à et passant par le point .
- Calculer .
Solution
- est la paramétrisation d'une droite, dirigée par le vecteur .
- .
- .
Pour quelle(s) valeur(s) de les deux droites et sont-elles coplanaires ?
Solution
La droite passe par le point et est dirigée par le vecteur . La droite passe par le point et est dirigée par le vecteur . Les deux droites sont coplanaires si et seulement si la famille est liée, ce qui se traduit par
- .
L'unique solution est donc .
Dans un espace affine euclidien de dimension 3, soient et deux droites non parallèles, dirigées respectivement par et , unitaires. Quelle est la nature de ? Montrer que le projeté orthogonal de sur est une droite sécante à , et soit le point d'intersection. Montrer qu'il existe une droite passant par orthogonale à et , et que c'est l'unique perpendiculaire commune. Deux droites quelconques admettent-elles une perpendiculaire commune ? unicité ?
Solution
est un plan affine dirigé par , contenant , et parallèle à .
Pour tout point de , le projeté orthogonal de sur est la droite , par linéarité. Dans le plan , les deux droites et ont des vecteurs directeurs non colinéaires, elles sont non parallèles donc sécantes.
Soit le point d'intersection. Alors admet un antécédent dans pour la projection orthogonale sur . La droite est donc perpendiculaire au plan de projection, donc perpendiculaire (c'est-à-dire orthogonale, propriété linéaire euclidienne et sécante, propriété purement affine) à et à , puis à .
Toute perpendiculaire commune à et est une perpendiculaire au plan , donc sa direction est définie de manière unique. Si est son point d'intersection avec , alors est son unique point d'intersection avec , et doit donc appartenir à , c'est-à-dire être . Ainsi toute perpendiculaire commune doit passer par , d'où l'unicité.
Dans le cas de deux droites parallèles, toute perpendiculaire commune doit être coplanaire à ces droites, et toute perpendiculaire à l'une respectant cette coplanarité est perpendiculaire à l'autre. D'où l'existence, en revanche, il n'y a pas d'unicité : l'ensemble des perpendiculaires est même en bijection avec, mettons, la première droite.
On reprend les notations précédentes en supposant cette fois et non coplanaires. Soit le milieu du segment . Soit le groupe des isométries laissant fixe. Montrer que et sont globalement fixés par . Montrer que agit sur l'ensemble . En déduire écritures matricielles possibles des éléments de dans la base , où est un vecteur directeur unitaire de . Montrer que est isomorphe soit à , soit au groupe diédral d'ordre , suivant que et sont orthogonaux ou non.
Solution
Un élément de soit laisse chacune des droites et globalement fixe, soit les intervertit. Dans les deux cas leur unique perpendiculaire commune est laissée fixe (préservation de la propriété d'orthogonalité, et de la propriété d'incidence par une isométrie affine). Les points d'intersection et sont aussi soit fixés, soit intervertis, et leur milieu est fixé. Le sous-groupe est donc inclus dans le stabilisateur (sous-groupe de ) de , et s'identifie donc à un sous-groupe de .
En tant que vecteur directeur normé de , est envoyé, par la partie vectorielle d'un élément , sur un vecteur directeur normé de ou de , c'est-à-dire sur ou sur . On a évidemment . De même pour , et comme est un isomorphisme, il est en fait envoyé sur un des deux, parmi ces quatre éléments, non colinéaire à . On en déduit que agit par permutation sur . Par orthogonalité, (la partie vectorielle de) tout élément de agit sur le vecteur (vecteur directeur de ), en conservant la norme, donc soit comme l'identité, soit par multiplication par un scalaire . De plus, ne peut être fixé que par un élément qui laisse chacune des droites et globalement fixes. Les écritures matricielles possibles sont alors :
L'identité implique, dans les cas des deux représentations matricielles au centre de chaque ligne, l'identité . Ainsi, si ce produit scalaire est non nul, le groupe est constitué de l'identité, du demi-tour d'axe (), et des deux demi-tours ( et ) d'axes respectifs les deux bissectrices des projetés de et dans le plan affine (qui forment un groupe isomorphe à ). Si ce produit scalaire est nul, on peut ajouter les réflexions et par rapport aux plans et . On a aussi les symétries rotations et , dont les décompositions canoniques comme symétries rotations font apparaître la réflexion de plan , et les rotations de droite et d'angle , qui ne sont pas dans . On a par exemple les relations suivantes :
- .
On reconnaît le groupe diédral avec la présentation , et l'ordre 8. (On peut aussi s'arrêter plus tôt dans les calculs en utilisant que le groupe diédral est l'unique groupe d'ordre 8 non commutatif admettant comme sous-groupe).
Dans un espace affine de dimension 3, soient , et des droites parallèles à un plan fixé, deux à deux non coplanaires. Soient des vecteurs directeurs de , et respectivement, des points de , et respectivement, et . On se place dans le repère affine .
- Donner une représentation paramétrique de et .
- En déduire que pour tout point de coordonnées , si (en particulier si ) alors il existe une (unique) droite passant par et coupant et , et donner alors (en fonction de ) un vecteur directeur de cette droite.
- D'après 2., on peut désormais supposer alignés. Soient alors tels que et . Donner une représentation paramétrique de puis montrer que lorsque parcourt , varie dans un plan vectoriel fixe .
- Vérifier que . En déduire que lorsque parcourt , les droites (toutes parallèles à ) sont deux à deux non coplanaires.
Solution
- a pour représentation paramétrique . a pour représentation paramétrique .
- Les points de cordonnées , et sont alignés si et seulement si les vecteurs de coordonnées et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si et , donc si et seulement si et . Si , de tels existent et sont uniques, d'où l'existence et l'unicité de . On peut alors choisir pour le vecteur de coordonnées .
- a pour représentation paramétrique . Pour correspondant à une valeur du paramètre, le vecteur correspondant vaut , où , donc appartient au plan vectoriel engendré par et .
- car est libre car , donc pour distincts, la direction du sous-espace affine engendré par et , qui contient et , est l'espace entier, donc ces deux droites sont non coplanaires.