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Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans

Leçons de niveau 13
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Droites et plans
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Exercices no1
Leçon : Droites et plans de l'espace

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Exercices guidés
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Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans
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Donner une équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées et dirigée par le vecteur de coordonnées .

Donner une équation paramétrique de la droite D menée par le point (1,1,1), parallèle au plan d'équation et rencontrant la droite d'équation paramétrique

.

Donner une équation du plan P' perpendiculaire au plan P d'équation et contenant la droite D d'équation .

Dans chacun des deux cas suivants, donner un paramétrage de la droite définie par les deux équations :

  1.  ;
  2. .

Déterminer une représentation paramétrique puis un système d'équations cartésiennes de la droite passant par les points et .

Donner une équation cartésienne du plan passant par le point de coordonnées (1, 2, 3) et dont un vecteur normal a pour coordonnées (–1, 3, 5).

Déterminer une paramétrisation et une équation cartésienne du plan affine de  :

  1. passant par et de direction et  ;
  2. passant par le point et orthogonal au vecteur .

On pose , et .

  1. Ces trois vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?
  2. Soit le point de coordonnées . On pose . Montrer que est un plan dont on donnera une équation.
  3. Donner des équations d'une droite incluse dans .
  4. La droite passant par et de vecteur directeur est-elle incluse dans le plan  ? parallèle au plan  ? Déterminer .
  5. Donner des équations et une paramétrisation de la droite orthogonale à passant par .
  6. Donner des équations du plan passant par parallèle à .
  7. Déterminer .
  1. Trouver une paramétrisation de la droite définie par les équations
  2. Trouver une paramétrisation du plan défini par l'équation : .
  3. La droite est-elle incluse dans le plan  ?
  4. Existe-t-il un plan parallèle à qui contienne la droite  ?
  5. Donner une équation cartésienne d'un plan qui contienne la droite .
  6. Déterminer l'intersection des plans et .
  1. Discuter suivant les valeurs des paramètres et l'intersection du plan d'équation et du plan dont une paramétrisation est donnée par
  2. Déterminer selon le paramètre , l'intersection du plan défini par avec la droite définie par
  1. Soit le plan affine passant par le point et dirigé par le plan vectoriel engendré par et . Soit le plan affine d'équation . Déterminer la droite et décrire ses équations paramétrées et cartésiennes.
  2. Donner l'équation cartésienne du plan contenant et le point .

Soient et les plans de d'équations respectives et .

  1. Montrer que est une droite , dont on donnera une paramétrisation.
  2. Donner une équation du plan perpendiculaire à et passant par le point .
  3. Calculer .

Pour quelle(s) valeur(s) de les deux droites et sont-elles coplanaires ?

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, soient et deux droites non parallèles, dirigées respectivement par et , unitaires. Quelle est la nature de  ? Montrer que le projeté orthogonal de sur est une droite sécante à , et soit le point d'intersection. Montrer qu'il existe une droite passant par orthogonale à et , et que c'est l'unique perpendiculaire commune. Deux droites quelconques admettent-elles une perpendiculaire commune ? unicité ?

On reprend les notations précédentes en supposant cette fois et non coplanaires. Soit le milieu du segment . Soit le groupe des isométries laissant fixe. Montrer que et sont globalement fixés par . Montrer que agit sur l'ensemble . En déduire écritures matricielles possibles des éléments de dans la base , où est un vecteur directeur unitaire de . Montrer que est isomorphe soit à , soit au groupe diédral d'ordre , suivant que et sont orthogonaux ou non.

Dans un espace affine de dimension 3, soient , et des droites parallèles à un plan fixé, deux à deux non coplanaires. Soient des vecteurs directeurs de , et respectivement, des points de , et respectivement, et . On se place dans le repère affine .

  1. Donner une représentation paramétrique de et .
  2. En déduire que pour tout point de coordonnées , si (en particulier si ) alors il existe une (unique) droite passant par et coupant et , et donner alors (en fonction de ) un vecteur directeur de cette droite.
  3. D'après 2., on peut désormais supposer alignés. Soient alors tels que et . Donner une représentation paramétrique de puis montrer que lorsque parcourt , varie dans un plan vectoriel fixe .
  4. Vérifier que . En déduire que lorsque parcourt , les droites (toutes parallèles à ) sont deux à deux non coplanaires.