Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques

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Exercice de cours
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Exercices no1
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Suites arithmético-géométriques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Récurrence affine d'ordre 2
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et la suite définie par : .
Exprimer en fonction de n et et montrer que cette suite est convergente et monotone.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

On mesure l'évolution d'une quantité d'un produit à intervalles de temps réguliers ( est la quantité de départ), sachant que sur chaque unité de temps on perd une proportion (avec ) de produit et qu'on en injecte une quantité fixe .

  1. Montrer que .
  2. Si la suite est convergente, quelle est sa limite ?
  3. On pose . Montrer que la suite est géométrique. Exprimer en fonction de .
  4. En déduire que la suite est convergente, et retrouver le résultat de la question 2.
  5. Un gouvernement R décide d'envoyer des soldats en « opération militaire spéciale » dans un pays U ; il constate que 5 % de ses effectifs disparaissent chaque mois. Combien doit-il envoyer de nouvelles recrues chaque mois pour atteindre un effectif proche de 150 000 soldats, sachant qu'il a envoyé au départ un bataillon de 35 000 soldats ? Et s'il avait envoyé au départ un bataillon de 100 000 soldats ?