Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques

Exercice 1

Soient $a,b>0$ et $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0}=a,\quad u_{n+1}={\sqrt {b\,u_{n}}}$.
Exprimer $u_{n}$ en fonction de n et $a,b$ et montrer que cette suite est convergente et monotone.

Solution

La suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=\ln(u_{n})$ vérifie : $v_{n+1}={\frac {v_{n}+\ln b}{2}}$. C'est donc une suite arithmético-géométrique et (cf. chapitre 6)

$v_{n}=2^{-n}v_{0}+(1-2^{-n})\ln b$,

d'où

$u_{n}=a^{2^{-n}}b^{1-2^{-n}}$.

Par conséquent, $u_{n}\to a^{0}b^{1}=b$ et

${\frac {u_{n}}{u_{n-1}}}={\frac {b}{u_{n}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2^{-n}}$ donc la suite est strictement croissante si $b>a$, strictement décroissante si $b<a$ et constante si $b=a$.

 

Exercice 2

On mesure l'évolution d'une quantité $Q_{n}$ d'un produit à intervalles de temps réguliers $n=0,1,2,3\dots$ ($Q_{0}$ est la quantité de départ), sachant que sur chaque unité de temps on perd une proportion $k$ (avec $0<k\leq 1$) de produit et qu'on en injecte une quantité fixe $Q$.

1. Montrer que $Q_{n+1}=Q+(1-k)Q_{n}$.
2. Si la suite $(Q_{n})$ est convergente, quelle est sa limite ?
3. On pose $R_{n}=Q_{n}-{\frac {Q}{k}}$. Montrer que la suite $(R_{n})$ est géométrique. Exprimer $R_{n}$ en fonction de $n$.
4. En déduire que la suite $(Q_{n})$ est convergente, et retrouver le résultat de la question 2.
5. Un gouvernement R décide d'envoyer des soldats en « opération militaire spéciale » dans un pays U ; il constate que 5 % de ses effectifs disparaissent chaque mois. Combien doit-il envoyer de nouvelles recrues chaque mois pour atteindre un effectif proche de 150 000 soldats, sachant qu'il a envoyé au départ un bataillon de 35 000 soldats ? Et s'il avait envoyé au départ un bataillon de 100 000 soldats ?

Solution

1. $Q_{n+1}=Q_{n}-kQ_{n}+Q$.
2. $\ell =Q+(1-k)\ell$ donc $\ell ={\frac {Q}{k}}$.
3. En remplaçant, dans l'équation $Q_{n+1}=Q+(1-k)Q_{n}$, $Q_{n}$ par $R_{n}+{\frac {Q}{k}}$ (et $Q_{n+1}$ par $R_{n+1}+{\frac {Q}{k}}$), on trouve
   $R_{n+1}+{\frac {Q}{k}}=Q+(1-k)\left(R_{n}+{\frac {Q}{k}}\right)=(1-k)R_{n}+{\frac {Q}{k}}$ donc $(R_{n})$ est géométrique de raison $1-k$, si bien que $R_{n}=(1-k)^{n}R_{0}$.
4. $R_{n}\to 0$ donc $Q_{n}\to {\frac {Q}{k}}$.
5. $150\,000={\frac {Q}{0{,}05}}\Leftrightarrow Q=7\,500$ (indépendant de $Q_{0}$).