En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Applications linéaires continues Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 2-1
On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée, selon que l'on munit de la norme , de la norme ou de la norme .
Solution
La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace d'arrivée est la même que sur l'espace de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).
est une similitude (indirecte) de rapport (c.-à-d. que ) donc pour , .
Pour , car , avec égalité par exemple pour .
Pour , car , avec égalité par exemple pour .
On considère la matrice . Calculer la norme d'opérateur de lorsqu'on prend sur la norme , puis la norme .
La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de .
Soit . On a
.
Conclusion : et .
On pose pour tout la fonction qui :
vaut sur ;
vaut sur ;
est affine sur .
On a et l'on montre que .
Finalement, .
Exercice 2-3
Soient un -espace vectoriel normé et une forme linéaire. Montrer que est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Solution
Le singleton est fermé dans donc si est continue alors est fermé dans .
Réciproquement, supposons que n'est pas continue et démontrons que n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite de la boule unité de telle que . À partir d'un certain rang , , ce qui permet de définir
.
Par construction, la suite est à valeurs dans et converge vers , ce qui conclut.