Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques

Exercice 1 : Topologie définie par les voisinages

Soient un ensemble $E$ et une application

${\mathcal {V}}:E\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(E))$.

1. — Vérifier que si $E$ est muni d'une topologie pour laquelle ${\mathcal {V}}$ est l'application qui à chaque point $a$ de $E$ associe l'ensemble des voisinages de $a$, alors ${\mathcal {V}}$ possède les cinq propriétés suivantes (pour tout $a\in E$) :

(i) $\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad \left[V\subset W\subset E~\Rightarrow ~W\in {\mathcal {V}}(a)\right]$,

(ii) $\forall V,W\in {\mathcal {V}}(a)\quad V\cap W\in {\mathcal {V}}(a)$,

(iii) $E\in {\mathcal {V}}(a)$,

(iv) $\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad a\in V$,

(v) $\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad \exists W\in {\mathcal {V}}(a)\quad \forall y\in W\quad V\in {\mathcal {V}}(y)$.

2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que ${\mathcal {V}}$ est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note ${\mathcal {T}}$ l'ensemble des parties $O$ de $E$ qui vérifient : $\forall x\in O\quad O\in {\mathcal {V}}(x)$. Montrer que :

(a) ${\mathcal {T}}$ est une topologie sur $E$ ;

(b) pour tout $a\in E$ et tout voisinage $V$ de $a$ pour ${\mathcal {T}}$, $V\in {\mathcal {V}}(a)$ ;

(c) pour toute partie $V$ de $E$, l'ensemble

$O:=\{x\in E\mid V\in {\mathcal {V}}(x)\}$

appartient à ${\mathcal {T}}$ ;

(d) pour tout $a\in E$ et tout $V\in {\mathcal {V}}(a)$, $V$ est un voisinage de $a$ pour ${\mathcal {T}}$.

Solution

1. — Pour toute topologie sur $E$ (et tout $a\in E$), on a bien :

(i) tout sur-ensemble $W$ d'un voisinage $V$ de $a$ est un voisinage de $a$ (car $V$ contient un ouvert $O$ contenant $a$ donc $W$ contient ce même $O$) ;

(ii) l'intersection de deux voisinages $V$ et $W$ de $a$ est un voisinage de $a$ (car $V$ contient un ouvert $O$ contenant $a$ et $W$ contient un ouvert $O'$ contenant $a$, donc $V\cap W$ contient $O\cap O'$, qui contient $a$ et est ouvert comme intersection de deux ouverts) ;

(iii) $E$ est un voisinage de $a$ (car c'est un ouvert contenant $a$) ;

(iv) tout voisinage de $a$ contient $a$ (puisqu'il contient un ouvert contenant $a$) ;

(v) soit $V$ un voisinage de $a$ : il contient un ouvert $W$ contenant $a$. L'ouvert $W$ est un voisinage de $a$. Il est même voisinage de tous ses points donc le sur-ensemble $V$ est voisinage de ces mêmes points.

2. —

(a)

• $\varnothing \in {\mathcal {T}}$ car $[\forall x\in \varnothing \quad P(x)]$ est vrai pour n'importe quelle proposition $P(x)$, en particulier pour la proposition $\varnothing \in {\mathcal {V}}(x)$.
• $E\in {\mathcal {T}}$ d'après (iii).
• L'intersection de deux éléments de ${\mathcal {T}}$ appartient à ${\mathcal {T}}$ d'après (ii).
• Toute réunion d'éléments de ${\mathcal {T}}$ appartient à ${\mathcal {T}}$ d'après (i).

Donc ${\mathcal {T}}$ est une topologie sur $E$.

(b) Soit $V$ un voisinage de $a$ pour ${\mathcal {T}}$. Il existe $O\in {\mathcal {T}}$ tel que $a\in O$ (c'est-à-dire $O\in {\mathcal {V}}(a)$, par définition de $O$) et $O\subset V$. Donc $V\in {\mathcal {V}}(a)$ d'après (i).

(c) Par définition de ${\mathcal {T}}$ et $O$, il s'agit de vérifier que pour tout $x$ tel que $V\in {\mathcal {V}}(x)$, on a $O\in {\mathcal {V}}(x)$. Utilisons (v) : pour un tel $x$, il existe $W\in {\mathcal {V}}(x)$ tel que $W\subset O$. Par (i), on en déduit $O\in {\mathcal {V}}(x)$.

(d) L'ouvert $O$ de la question précédente est inclus dans $V$ d'après (iv). Pour tout $a$ tel que $V\in {\mathcal {V}}(a)$, on a de plus $a\in O$, donc $V$ est un voisinage de $a$.

 

Exercice 2 : Mesurabilité des convexes

Soit $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant $C$) est $\mathbb {R} ^{n}$ tout entier.

1. Montrer que le convexe ${\stackrel {\ \circ }{C}}$ (l'intérieur de $C$) est non vide.
2. Pour simplifier les notations, on suppose désormais que $0\in {\stackrel {\ \circ }{C}}$. Montrer qu'alors, $\forall p\in {\overline {C}}\quad \left[0,p\right[\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}$.
3. En déduire que pour tout réel $k>1$, l'adhérence ${\overline {C}}$ est incluse dans l'ouvert $k\,{\stackrel {\ \circ }{C}}$.
4. En déduire que si $C$ est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas $C$ non borné. En déduire que $C$ est Lebesgue-mesurable.
5. Montrer que si $C$ est de volume fini alors $C$ est borné.
6. Montrer qu'il existe, dans $\mathbb {R} ^{2}$, des convexes non boréliens.

Solution

1. Soient $e_{0},\dots ,e_{n}\in C$ affinement indépendants. L'ensemble $\left\{\left.\sum _{i=0}^{n}t_{i}e_{i}~\right|~t_{i}>0,\sum t_{i}=1\right\}\subset C$ est alors un ouvert non vide de $\mathbb {R} ^{n}$.
2. Soient $V$ un ouvert contenant $0$ et inclus dans $C$, et $q$ un point de $\left]0,p\right[$, c.-à-d. $q=tp$ pour un certain $t\in \left]0,1\right[$. Quand $v$ parcourt $V$, le point $p_{v}$ défini par $q=tp_{v}+\left(1-t\right)v$ parcourt un ouvert contenant $p$ (l'ouvert $p-(1-t)V/t$), qui rencontre donc $C$ en un certain point $p'$, et $q$ appartient à alors à l'ouvert $tp'+(1-t)V$, qui est inclus dans $C$.
3. Soient $k>1$ et $p\in {\overline {C}}$. Alors, ${\frac {1}{k}}p\in \left[0,p\right[\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}$ donc $p\in k\,{\stackrel {\ \circ }{C}}$.
4. On en déduit que la frontière $\operatorname {Fr} \left(C\right)$ est incluse dans $A_{k}:=k{\stackrel {\ \circ }{C}}\setminus {\stackrel {\ \circ }{C}}$, donc de mesure majorée par $\lambda _{n}(k{\stackrel {\ \circ }{C}})-\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})=\left(k^{n}-1\right)\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})$. Si $C$ est borné alors $\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})<+\infty$ donc $\lim _{k\to 1^{+}}\left(k^{n}-1\right)\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})=0$, ce qui prouve que $\operatorname {Fr} \left(C\right)$ est négligeable.
   On en déduit que même si $C$ n'est pas borné, $\operatorname {Fr} \left(C\right)$ est encore négligeable, car inclus dans $\cup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\operatorname {Fr} \left(C\cap B\left(0,n\right)\right)$.
   Par conséquent, $C$ est toujours Lebesgue-mesurable (et même Jordan-mesurable lorsqu'il est borné), de même mesure (éventuellement infinie) que son intérieur et son adhérence.
5. Si $C$ est non borné, soit $\left(x_{n}\right)$ une suite d'éléments de $C$ telle que $\|x_{n}\|\to \infty$, et (puisque par hypothèse $0\in {\stackrel {\ \circ }{C}}$) soit $B$ une boule ouverte de centre $0$ (et de rayon > 0) incluse dans $C$. L'enveloppe convexe de $B\cup \{x_{n}\}$ est alors incluse dans $C$ et sa mesure tend vers l'infini, donc $C$ est de mesure infinie.
6. Soit $D$ le disque unité ouvert et $T$ une partie non borélienne du cercle unité. Alors, $D\cup T$ est convexe et non borélien.

 

Exercice 3 : Théorème « 14 » de Kuratowski

Pour toute partie S d'un espace topologique X, notons kS l'adhérence de S et cS le complémentaire de S. On utilisera des notations allégées, sans signes ∘ ni parenthèses, pour les diverses composées de k et c, appliquées à S.

1. Montrer que ckcS ⊂ S.
2. En déduire que kckckck = kck.
3. En déduire que parmi toutes les applications de 𝒫(X) dans 𝒫(X) obtenues à partir de 1 (l'identité) par compositions répétées par k ou c (qui pourraient a priori former un ensemble dénombrable) en fait au plus 14 (que l'on explicitera) sont distinctes.
4. Pour X = ℝ muni de sa topologie usuelle, montrer que ces 14 composées sont effectivement distinctes (considérer la partie ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[)).
5. Existe-t-il des espaces X pour lesquels seules deux de ces composées sont distinctes ?
6. Existe-t-il des espaces X pour lesquels toutes ces composées sont égales ?

Solution

1. cS ⊂ k(cS) et c est involutive et décroissante pour l'inclusion donc S = c(cS) ⊃ c(kcS) (ce qui n'a rien d'étonnant puisque ckcS est l'intérieur de S).
2. Pour toute partie T de X, on en déduit d'une part que ckc(kckT) ⊂ kckT donc (puisque k est croissante et idempotente) k(ckckckT) ⊂ k(kckT) = kckT, et d'autre part que ckc(kT) ⊂ kT donc (par croissance de k, décroissance de c et idempotence de k) kck(ckckT) ⊃ kck(kT) = kckT. Ces deux inclusions donnent l'égalité voulue.
3. Pour obtenir à partir de 1, par compositions répétées par k ou c, toutes les applications possibles, il suffit de considérer les suites finies de lettres k et c dans lesquelles il n'y a jamais deux k consécutifs ni deux c consécutifs (car k∘k se simplifie en k et c∘c se simplifie en 1). D'après la question précédente, on peut de plus exclure les suites contenant kckckck. Il reste ainsi seulement : 1, k, ck, kck, ckck, kckck, ckckck et c, kc, ckc, kckc, ckckc, kckckc, ckckckc, soit au maximum 14 composées.
4. Montrons que ces 14 composées, appliquées à A = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[), donnent des résultats différents. Calculons d'abord ceux qui « ressemblent » à A c'est-à-dire où c apparaît un nombre pair de fois (y compris A = 1(A), où c apparait 0 fois). Ces 7 parties sont différentes car (en notant i = ckc)
   $kA=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]{\text{ donc }}ckckA=ikA=]0,2[\cup ]4,5[{\text{ donc }}kckckA=[0,2]\cup [4,5]$ et
   $ckcA=iA=]0,1[\cup ]1,2[{\text{ donc }}kckcA=[0,2]{\text{ donc }}ckckckcA=i(kckcA)=]0,2[$.
   Leurs 7 compl\'ementaires (cA, ckA, kckA, ckckckA, kcA, ckckcA et kckckcA) sont donc aussi distincts entre eux, et différents des 7 précédents car non bornés. Les 14 composées sont donc distinctes.
5. Pour X discret, k = 1 donc les seules composées sont 1 et c.
6. Pour X = ∅, il n'y a qu'une application du singleton 𝒫(X) = {∅} dans lui-même.