Anneau (mathématiques)/Définitions

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Anneau

Définition

On appelle anneau (unitaire, ou unifère) , tout triplet $(A,+,\cdot )$ constitué d’un ensemble $A$ et de deux lois de composition internes $+$ et $\cdot$ sur $A$ qui vérifient :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif de neutre $0_{A}$;
• $(A,\cdot )$ est associative de neutre $1_{A}$;
• la loi $\cdot$ est distributive par rapport à $+$ :

  $\forall a,b,c\in A\qquad (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad {\text{et}}\quad c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$.

L'anneau est dit commutatif si, de plus, la loi $\cdot$ est commutative.

Début de l'exemple

Exemples

• L'ensemble $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs, muni de l'addition et la multiplication usuelles, est un anneau commutatif unifère.
• Tout corps commutatif aussi.
• Les polynômes à coefficients dans un anneau $A$ forment un anneau, noté traditionnellement $A[X]$. Plus généralement, les polynômes en plusieurs indéterminées $X_{i}$ (où $i$ parcourt un ensemble d'indices $I$ non nécessairement fini), forment l'anneau $A[(X_{i})_{i\in I}]$.
• Les matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un anneau $A$ forment un anneau, noté $\mathrm {M} _{n}(A)$.

Fin de l'exemple

Remarque

Si A est un anneau, l'ensemble de ses éléments inversibles, noté A^×, forme naturellement un groupe pour la multiplication.

Sous-anneau

Définition

Un sous-anneau d'un anneau $(A,+,\cdot )$ est une partie $B$ de $A$ telle que :

• $(B,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
• $B$ est stable par $\cdot$ ;
• L'élément neutre de $(A,\cdot )$ appartient à $B$.

Tout sous-anneau hérite d’une structure d'anneau.

Idéaux

Définition

Soient $(A,+,\cdot )$ un anneau et $I\subset A$.

• $I$ est un idéal à gauche de $A$ si :
  • $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
  • $A\cdot I\subset I$.
• $I$ est un idéal à droite de $A$ si :
  • $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
  • $I\cdot A\subset I$.
• $I$ est un idéal bilatère de $A$ s'il est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de $A$.

Remarques

• $\{0\}$ et $A$ sont des idéaux bilatères de $A$, appelés idéaux triviaux de $A$.
• On a toujours $I=1\cdot I\subset A\cdot I$, donc $A\cdot I\subset I\Rightarrow A\cdot I=I$. De même, $I\cdot A\subset I\Rightarrow I\cdot A=I$.
• Si $A$ est commutatif, ses trois types d'idéaux sont confondus.

Anneau intègre

Définition

Un anneau commutatif $A$ est dit intègre si :

• $A$ n'est pas réduit à $\{0\}$ ;
• $A$ ne possède pas de diviseurs de zéro, c'est-à-dire :
  $\forall a,b\in A\quad \left(ab=0\Rightarrow \left(a=0{\text{ ou }}b=0\right)\right)$.

Remarque

La première condition équivaut à $1_{A}\neq 0_{A}$, et la seconde à : pour tout élément non nul $a$ de l'anneau, la multiplication par $a$ (qui est un endomorphisme du groupe $(A,+)$) est injective.