Magma (mathématiques)

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Algèbre

 

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Définition

Définition

Si $\star$ est une loi de composition interne sur un ensemble $E$, le couple $(E,\ast )$ est appelé un magma.

En toute rigueur, le magma $(E,\ast )$ est distinct de l’ensemble sous-jacent $E$, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier. Par exemple, on parle des éléments d'un magma pour désigner les éléments de son ensemble sous-jacent. On dit aussi qu'un magma est un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Exemple

Tout monoïde est un magma.

Partie stable

Définition

Une partie stable d'un magma $(E,\ast )$ est une partie $A$ de $E$ telle que

$\forall x,y\in A\quad x\ast y\in A$.

On l'appelle aussi sous-magma car $A$, muni de la restriction de $\ast$, est alors un magma.

Proposition

1. L'intersection d'une famille non vide de sous-magmas est un sous-magma.
2. Toute partie d'un magma est contenue dans un plus petit sous-magma, appelé magma engendré.

Démonstration

• Soient $(H_{i})_{i\in I}$ une famille non vide de sous-magmas de $(E,\ast )$, et $H$ son intersection (qui est bien définie, car $I\neq \varnothing$). Si $x,y\in H$, alors $\forall i\in I\quad x,y\in H_{i}$ donc $x\star y\in H_{i}$. Comme c’est vrai pour tout $i$, $x\star y\in H$.
• Il suffit de considérer l'intersection de tous les sous-magmas de $E$ qui contiennent la partie (il y en a au moins un : $E$ lui-même).

 

Morphismes

Définition

Soient E et F deux magmas. Commettons l'abus de noter leurs lois de composition par le même symbole $\star$. Un homomorphisme, ou encore morphisme, du magma E dans le magma F est une application f de E dans F telle que pour tous éléments x, y de E, on ait

$f(x\star y)=f(x)\star f(y)$.

Si le morphisme f est bijectif, on dit que c’est un isomorphisme. S'il existe un isomorphisme entre deux magmas, on dit que ces deux magmas sont isomorphes.

Morphisme composé

Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux morphismes de magmas.

L'application composée $g\circ f:E\to G$ est morphisme de magmas.

L'identité est toujours un isomorphisme d'un magma sur lui-même. L'application réciproque d'un isomorphisme de E sur F est un isomorphisme de F sur E. Si E, F et G sont des magmas, le composé d'un isomorphisme de E sur F et d'un isomorphisme de F sur G est un isomorphisme de E sur G. Il résulte de ces trois faits que la relation « il existe un isomorphisme de E sur F » est une relation d'équivalence entre magmas. Deux magmas qui sont dans cette relation sont dits isomorphes.

Images directes et réciproques de sous-magmas

Soit $f:E\to F$ un morphisme de magmas.

• L'image directe par $f$ de tout sous-magma de $E$ est un sous-magma de $F$.
• L'image réciproque par $f$ de tout sous-magma de $F$ est un sous-magma de $E$.

Démonstration

• Soit $A\subset E$. Si $A\star A\subset A$ alors $f(A)\star f(A)=f(A\star A)\subset f(A)$.
• Soit $B\subset F$. Si $B\star B\subset B$ alors, pour tous $x,y\in f^{-1}(B)$, $f(x\star y)=f(x)\star f(y)\in B$ (car $f(x),f(y)\in B$), donc $x\star y\in f^{-1}(B)$.