Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

Exercice 6-1

1°  Soit $Z=2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}$. Écrire la représentation trigonométrique de $Z$.

Résoudre dans $\mathbb {C}$ : $z^{4}=Z$.

2°  Déterminez par la méthode algébrique les nombres complexes $X$ tel que $X^{2}=Z$, puis les nombres complexes $z$ tels que $z^{4}=Z$.

3°  En déduire $\cos {\frac {\pi }{12}}$ et $\sin {\frac {\pi }{12}}$.

Solution

1. Les racines quatrièmes de $Z=4\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}$ sont $\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}$ et $\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}$.
2. $X=a+\mathrm {i} b$ avec $a^{2}-b^{2}=2$, $a^{2}+b^{2}=4$ et $ab<0$ donc $X=\pm \left({\sqrt {3}}-\mathrm {i} {\sqrt {2}}\right)$.
   $z=c+\mathrm {i} d$ avec $c^{2}-d^{2}=\varepsilon {\sqrt {3}}$ ($\varepsilon =\pm 1$), $c^{2}+d^{2}=2$ et $\varepsilon cd<0$ donc $z=\pm \left({\frac {1+\varepsilon {\sqrt {3}}}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\varepsilon -{\sqrt {3}}}{2}}\right)$.
3. $\cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$ et $\sin {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}$ (cf. Valeurs trigonométriques exactes).

 

Exercice 6-2

1°  Soit $u$, nombre complexe différent de $-1$, de module $1$, d'argument $\theta$.

a)  Calculez le module et un argument de ${\frac {1-u}{1+u}}$.

b)  En déduire le module et un argument de $z$ tel que ${\frac {2+\mathrm {i} z}{2-\mathrm {i} z}}=u$.

2°  Résoudre dans $\mathbb {C}$ : $\left(2+\mathrm {i} z\right)^{5}=\left(2-\mathrm {i} z\right)^{5}$.

Solution

1°  a)  ${\frac {1-u}{1+u}}={\frac {1-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{1+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}={\frac {\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta /2}}{\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta /2}}}=-\mathrm {i} \tan \theta /2$ (de module $|\tan \theta /2|$ et d'argument $-{\frac {\pi }{2}}$ si $\tan \theta /2>0$ et ${\frac {\pi }{2}}$ si $\tan \theta /2<0$).

b)  ${\frac {2+\mathrm {i} z}{2-\mathrm {i} z}}=u\Leftrightarrow z=2\mathrm {i} {\frac {1-u}{1+u}}\Leftrightarrow z=2\tan \theta /2$ (de module $2|\tan \theta /2|$ et d'argument $0$ si $\tan \theta /2>0$ et $\pi$ si $\tan \theta /2<0$).

2°  $\left(2+\mathrm {i} z\right)^{5}=\left(2-\mathrm {i} z\right)^{5}\Leftrightarrow z=2\tan \theta /2{\text{ avec }}\theta =k{\frac {2\pi }{5}}{\text{ pour }}k=0,\pm 1,\pm 2$. Les solutions sont donc $0$, $\pm 2\tan {\frac {\pi }{5}}$ et $\pm 2\tan {\frac {2\pi }{5}}$.

 

Exercice 6-3

1°  Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^{6}=-1$.

2°  Mettre le polynôme $z^{6}+1$ sous la forme d'un produit de trois polynômes à coefficients réels.

Solution

1. $z^{6}=-1\Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ avec $6\theta \equiv \pi {\bmod {2\pi }}$. Le six solutions sont donc $\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /6},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 5\pi /6}$ et $\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /2}=\pm \mathrm {i}$.
2. $\left(z-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)\left(z-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }\right)=z^{2}-2z\cos \theta +1$ et $-\cos {\frac {5\pi }{6}}=\cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ donc $z^{6}+1=\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}-z{\sqrt {3}}+1\right)\left(z^{2}+z{\sqrt {3}}+1\right)$.

 

Exercice 6-4

1°  Déterminez, sous forme trigonométrique, les solutions complexes de l’équation :

$z^{3}=4{\sqrt {2}}\left(-1+\mathrm {i} \right)$.

2°  En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.

3°  Déduire des questions précédentes les valeurs de :

$\cos {\frac {11\pi }{12}}\quad$ et $\quad \sin {\frac {11\pi }{12}}$, puis de

$\cos {\frac {\pi }{12}}\quad$ et $\quad \sin {\frac {\pi }{12}}$.

Solution

1. $z^{3}=8\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 3\pi /4}\Leftrightarrow z\in \{2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4},2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 11\pi /12},2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /12}\}$.
2. L'une des solutions est $2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}={\sqrt {2}}\left(1+\mathrm {i} \right)$ donc les deux autres sont
   $2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 11\pi /12}={\sqrt {2}}\left(1+\mathrm {i} \right){\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {-1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \left(-1+{\sqrt {3}}\right)}{\sqrt {2}}}$ et
   $2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /12}={\sqrt {2}}\left(1+\mathrm {i} \right){\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \left(-1-{\sqrt {3}}\right)}{\sqrt {2}}}$.
3. $\cos {\frac {11\pi }{12}}={\frac {-1-{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}$ et $\sin {\frac {11\pi }{12}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}$. Par conséquent,

   $\cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}$ et $\sin {\frac {\pi }{12}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}$ (cf. Valeurs trigonométriques exactes).

 

Exercice 6-5

1°  Résoudre, dans le corps des nombres complexes, l'équation $z^{12}=1$. Donner les solutions sous forme trigonométrique puis algébrique.

2°  $u$ désignant un nombre complexe différent de $1$, calculer au moyen des seuls $u^{n+1}$ et $u$ :

$1+u+u^{2}+\cdots +u^{n}$.

3°  Donner les solutions de l'équation $z^{8}+z^{4}+1=0$.

Solution

1. $z^{12}=1\Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} k\pi /6}$ avec $k\in \{0,6,\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm 5\}\Leftrightarrow z\in \{\pm 1,\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /6},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /3},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /2},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 2\pi /3},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 5\pi /6}\}=\left\{\pm 1,{\frac {{\sqrt {3}}\pm \mathrm {i} }{2}},{\frac {1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},\pm \mathrm {i} ,{\frac {-1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-{\sqrt {3}}\pm \mathrm {i} }{2}}\right\}$.
2. $1+u+u^{2}+\cdots +u^{n}={\frac {1-u^{n+1}}{1-u}}$.
3. $z^{8}+z^{4}+1=0\Leftrightarrow z^{4}=u$ avec $u^{3}=1$ et $u\neq 1\Leftrightarrow z^{12}=1$ et $z^{4}\neq 1\Leftrightarrow z\in \{\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /6},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /3},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 2\pi /3},\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 5\pi /6}\}=\left\{{\frac {{\sqrt {3}}\pm \mathrm {i} }{2}},{\frac {1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-{\sqrt {3}}\pm \mathrm {i} }{2}}\right\}$.

 

Exercice 6-6

1°  Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation $z^{5}=-\mathrm {i}$.

On précisera le module et l'argument des racines et on présentera leurs images dans le plan complexe.

2°  Calculez la somme des racines et interprétez géométriquement ce résultat en introduisant l'isobarycentre de leurs images.

(Rappel : l'isobarycentre d'un ensemble de points $\{A,\,B,\,C,\cdots \}$ est le point $I$ vérifiant ${\vec {IA}}+{\vec {IB}}+{\vec {IC}}+\cdots ={\vec {0}}$.)

3°  Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation :

$1+\mathrm {i} z-z^{2}-\mathrm {i} z^{3}+z^{4}=0$.

(On se ramènera à l'équation précédente, en calculant une somme de la forme $1+k+k^{2}+k^{3}+k^{4}$.)

Solution

1. $z^{5}=-\mathrm {i} \Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ avec $5\theta \equiv -{\frac {\pi }{2}}{\bmod {2\pi }}$. Le cinq solutions sont donc $\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /10},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 3\pi /10},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 7\pi /10},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 9\pi /10}$ et $\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /10}=-\mathrm {i}$. Elles forment un pentagone régulier pointe en bas sur le cercle unité.
2. La somme des racines est le produit de l'une d'entre elles par la somme des 5 racines cinquièmes de l'unité, qui vaut $0$. Elle est donc nulle, c'est-à-dire que l'isobarycentre des images est $O$ (le point d'affixe $0$).
3. $1+\mathrm {i} z-z^{2}-\mathrm {i} z^{3}+z^{4}=1+k+k^{2}+k^{3}+k^{4}$ pour $k=\mathrm {i} z$. Cette somme est nulle si et seulement si $k^{5}=1$ et $k\neq 1$, c'est-à-dire $z^{5}=-\mathrm {i}$ et $z\neq -\mathrm {i}$. Les quatre solutions sont donc $\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /10},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 3\pi /10},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 7\pi /10}$ et $\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 9\pi /10}$.

 

Exercice 6-7

1°  Écrire sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe $a=16\left(1-\mathrm {i} \right)$.

2°  Pour $\lambda$ nombre réel quelconque, on pose :

$z_{\lambda }=1+\mathrm {i} +2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \lambda }=x_{\lambda }+\mathrm {i} y_{\lambda }$.

a)  Calculez les réels $x_{\lambda }$ et $y_{\lambda }$ en fonction de $\lambda$.

b)  Déterminez l'ensemble (C) des points $M_{\lambda }$ de coordonnées $\left(x_{\lambda },y_{\lambda }\right)$ quand $\lambda$ décrit $\left[0,2\pi \right[$.

3°  Montrez que les solutions de l'équation :

$\left(z-\left(1+\mathrm {i} \right)\right)^{3}=a$

sont les affixes de trois points de (C).

Solution

1°  Les racines cubiques de $a=2^{9/2}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}$ sont $2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}$, $2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 7\pi /12}$ et $2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 3\pi /4}=2\left(-1-\mathrm {i} \right)$.

2°  a)  $x_{\lambda }=1+2{\sqrt {2}}\cos \lambda$ et $y_{\lambda }=1+2{\sqrt {2}}\sin \lambda$.

b)  (C) est le cercle de rayon $2{\sqrt {2}}$ dont le centre a pour coordonnées $\left(1,1\right)$.

3°  $\left(z-\left(1+\mathrm {i} \right)\right)^{3}=a\Rightarrow \left|z-\left(1+\mathrm {i} \right)\right|={\sqrt[{3}]{|a|}}=2{\sqrt {2}}$.

 

Exercice 6-8

1°  Exprimez les racines complexes $z_{k}$ de l'équation $z^{5}=1$ en fonction des nombres $\theta _{k}={\frac {2k\pi }{5}}$, où $k\in \left[-2,2\right]$.

2°  Quelle est la nature du polygone dont les sommets A_k ont pour affixe $z_{k}$ ?

Déterminez l'isobarycentre des points A_k.

3°  En déduire une équation du second degré à coefficients entiers satisfaite par $a=\cos {\frac {2\pi }{5}}$. Résoudre cette équation ; calculez $\cos {\frac {2\pi }{5}}$ et $\cos {\frac {4\pi }{5}}$.

4°  À tout nombre complexe $u$, différent de $-1$, on associe $z={\frac {u-1}{u+1}}$. Calculez $u$ en fonction de $z$.

5°  À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation $(u-1)^{5}=(u+1)^{5}$. Que remarquez-vous ?

6°  Expliquez ce dernier résultat en déterminant l'ensemble des points dont l'affixe $u$ est telle que $\left|{\frac {u+1}{u-1}}\right|=1$.

Solution

1. $z_{k}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta _{k}}$.
2. C'est un pentagone régulier, d'isobarycentre $O$ (le point d'affixe $0$).
3. Cf. Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 4-5.
4. $u={\frac {1+z}{1-z}}$.
5. Cette équation n'est que de degré 4 (les $u^{5}$ s'éliminent) et ses solutions sont $u={\frac {1+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta _{k}}}{1-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta _{k}}}}=\mathrm {i} \cot(\theta _{k}/2)$ pour $k=\pm 1,\pm 2$, c'est-à-dire $\pm \mathrm {i} \cot(\pi /5)$ et $\pm \mathrm {i} \cot(2\pi /5)$, imaginaires purs.
6. Cf. Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments#Exercice 1-4.

 

Exercice 6-9

1. Donner, suivant les valeurs de $\theta \in \left[0,2\pi \right[$, le module et l'argument de $1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }$.
2. Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation $z^{5}=\left(1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)^{5}$.

Solution

1. $1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }=2\cos {\frac {\theta }{2}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\theta }{2}}}$ a pour module et argument (modulo $2\pi$) :

   ${\begin{cases}2\cos {\frac {\theta }{2}},{\frac {\theta }{2}}&{\text{si }}\theta \in \left[0,\pi \right[\\-2\cos {\frac {\theta }{2}},{\frac {\theta }{2}}-\pi &{\text{si }}\theta \in \left[\pi ,2\pi \right[.\end{cases}}$

2. $z^{5}=\left(1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)^{5}\Leftrightarrow z=\left(1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{5}}}=2\cos {\frac {\theta }{2}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {2k\pi }{5}}\right)},\quad k\in \{-2,-1,0,1,2\}$.