Leçons de niveau 13

Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

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Sur les racines n-ièmes
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Exercices no6
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur la trigonométrie
Exo suiv. :Sur les applications géométriques
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes
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Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

 Soit . Écrire la représentation trigonométrique de .

Résoudre dans  : .

 Déterminez par la méthode algébrique les nombres complexes tel que , puis les nombres complexes tels que .

 En déduire et .

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

 Soit , nombre complexe différent de , de module , d'argument .

a)  Calculez le module et un argument de .
b)  En déduire le module et un argument de tel que .

 Résoudre dans  : .

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

 Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation .

 Mettre le polynôme sous la forme d'un produit de trois polynômes à coefficients réels.

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

 Déterminez, sous forme trigonométrique, les solutions complexes de l’équation :

.

 En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.

 Déduire des questions précédentes les valeurs de :

et , puis de
et .

Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

 Résoudre, dans le corps des nombres complexes, l'équation . Donner les solutions sous forme trigonométrique puis algébrique.

  désignant un nombre complexe différent de , calculer au moyen des seuls et  :

.

 Donner les solutions de l'équation .

Exercice 6-6[modifier | modifier le wikicode]

 Résoudre dans l'équation .

On précisera le module et l'argument des racines et on présentera leurs images dans le plan complexe.

 Calculez la somme des racines et interprétez géométriquement ce résultat en introduisant l'isobarycentre de leurs images.

(Rappel : l'isobarycentre d'un ensemble de points est le point vérifiant .)

 Résoudre dans l'équation :

.
(On se ramènera à l'équation précédente, en calculant une somme de la forme .)

Exercice 6-7[modifier | modifier le wikicode]

 Écrire sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe .

 Pour nombre réel quelconque, on pose :

.
a)  Calculez les réels et en fonction de .
b)  Déterminez l'ensemble (C) des points de coordonnées quand décrit .

 Montrez que les solutions de l'équation :

sont les affixes de trois points de (C).

Exercice 6-8[modifier | modifier le wikicode]

 Exprimez les racines complexes de l'équation en fonction des nombres , où .

 Quelle est la nature du polygone dont les sommets Ak ont pour affixe  ?

Déterminez l'isobarycentre des points Ak.

 En déduire une équation du second degré à coefficients entiers satisfaite par . Résoudre cette équation ; calculez et .

 À tout nombre complexe , différent de , on associe . Calculez en fonction de .

 À l'aide des résultats précédents, résoudre dans l'équation . Que remarquez-vous ?

 Expliquez ce dernier résultat en déterminant l'ensemble des points dont l'affixe est telle que .

Exercice 6-9[modifier | modifier le wikicode]

  1. Donner, suivant les valeurs de , le module et l'argument de .
  2. Résoudre dans l'équation .