Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments

Exercice 1-1

Calculer les modules des nombres complexes suivants :

a)  $3+4\mathrm {i}$ ;

b)   ${\sqrt {2}}+\mathrm {i}$ ;

c)   ${\sqrt {7}}-\mathrm {i} {\sqrt {2}}$ ;

d)   $5{\sqrt {2}}-7\mathrm {i}$ ;

e)   $2{\sqrt {5}}+\mathrm {i} {\sqrt {5}}$.

Solution

a)   $\left|3+4\mathrm {i} \right|={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$.

b)   $\left|{\sqrt {2}}+\mathrm {i} \right|={\sqrt {{\sqrt {2}}^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2+1}}={\sqrt {3}}$.

c)   $\left|{\sqrt {7}}-\mathrm {i} {\sqrt {2}}\right|={\sqrt {{\sqrt {7}}^{2}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {7+2}}={\sqrt {9}}=3$.

d)   $\left|5{\sqrt {2}}-7\mathrm {i} \right|={\sqrt {\left(5{\sqrt {2}}\right)^{2}+7^{2}}}={\sqrt {25\times 2+49}}={\sqrt {99}}=3{\sqrt {11}}$.

e)   $\left|2{\sqrt {5}}+\mathrm {i} {\sqrt {5}}\right|={\sqrt {\left(2{\sqrt {5}}\right)^{2}+{\sqrt {5}}^{2}}}={\sqrt {4\times 5+5}}={\sqrt {25}}=5$.

 

Exercice 1-2

Calculer les arguments des nombres complexes suivants :

a)   ${\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$ ;

b)   ${\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {2}}}{2}}$ ;

c)   $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ ;

d)   $1-\mathrm {i}$ ;

e)   ${\sqrt {3}}-\mathrm {i}$ ;

f)   $-7\mathrm {i}$ ;

g)   $2+3\mathrm {i}$ ;

h)   ${\sqrt {3}}-3\mathrm {i}$.

Solution

a)   $\arg \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\right)=\arg \left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\equiv {\frac {\pi }{3}}{\bmod {2\pi }}$.

b)   $\arg \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {2}}}{2}}\right)=\arg \left(\cos {\frac {\pi }{4}}-\mathrm {i} \sin {\frac {\pi }{4}}\right)\equiv -{\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$.

c)   $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}=2\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\right)$ a même argument que ${\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$, cf. a).

d)   $1-\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {2}}}{2}}\right)$ a même argument que ${\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {2}}}{2}}$, cf. b).

e)   De même, $\arg \left({\sqrt {3}}-\mathrm {i} \right)=\arg \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-\mathrm {i} {\frac {1}{2}}\right)=\arg \left(\cos {\frac {\pi }{6}}-\mathrm {i} \sin {\frac {\pi }{6}}\right)\equiv -{\frac {\pi }{6}}{\bmod {2\pi }}$.

f)   $\arg \left(-7\mathrm {i} \right)=\arg \left(-\mathrm {i} \right)\equiv -{\frac {\pi }{2}}{\bmod {2\pi }}$.

g)   Soit $\alpha =\arg \left(2+3\mathrm {i} \right)$.

$\tan \alpha ={\frac {3}{2}}$ donc $\alpha \equiv \arctan {\frac {3}{2}}{\bmod {\pi }}$.

De plus, $\cos \alpha ={\frac {2}{\sqrt {13}}}>0$.

Donc $\alpha \equiv \arctan {\frac {3}{2}}{\bmod {2\pi }}$.

h)   ${\sqrt {3}}-3\mathrm {i} =2{\sqrt {3}}\left({\frac {1}{2}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ a même argument que ${\frac {1}{2}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\overline {{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}}}$ donc (cf. a)) $\arg \left({\sqrt {3}}-3\mathrm {i} \right)\equiv -{\frac {\pi }{3}}{\bmod {2\pi }}$.

 

Exercice 1-3

Mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :

a)   $1+\mathrm {i}$ ;

b)   ${\sqrt {3}}+\mathrm {i}$ ;

c)   ${\sqrt {3}}+3\mathrm {i}$ ;

d)   ${\frac {1-\mathrm {i} }{2}}$ ;

e)   $-{\sqrt {6}}-\mathrm {i} {\sqrt {2}}$ ;

f)   $5\mathrm {i}$ ;

g)   $-2$.

Solution

a)   $1+\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$ ;

b)   ${\sqrt {3}}+\mathrm {i} =2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ ;

c)   ${\sqrt {3}}+3\mathrm {i} =2{\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$ ;

d)   ${\frac {1-\mathrm {i} }{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}$ ;

e)   $-{\sqrt {6}}-\mathrm {i} {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /6}$ ;

f)   $5\mathrm {i} =5\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}$ ;

g)   $-2=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }$.

 

Exercice 1-4

Démontrer que, si $\lambda$ est réel, le nombre complexe

${\frac {1+\lambda \mathrm {i} }{1-\lambda \mathrm {i} }}$

a pour module 1.

Étudier la réciproque.

Solution

Soit $\lambda \in \mathbb {C} \setminus \{-\mathrm {i} \}$.

$\left|{\frac {1+\lambda \mathrm {i} }{1-\lambda \mathrm {i} }}\right|=1\Leftrightarrow \left|1+\lambda \mathrm {i} \right|^{2}=\left|1-\lambda \mathrm {i} \right|^{2}\Leftrightarrow \left(1+\lambda \mathrm {i} \right)\left(1-{\bar {\lambda }}\mathrm {i} \right)=\left(1-\lambda \mathrm {i} \right)\left(1+{\bar {\lambda }}\mathrm {i} \right)\Leftrightarrow \left(\lambda -{\bar {\lambda }}\right)\mathrm {i} =\left({\bar {\lambda }}-\lambda \right)\mathrm {i} \Leftrightarrow {\bar {\lambda }}=\lambda \Leftrightarrow \lambda \in \mathbb {R}$.

 

Exercice 1-5

Calculer $\left({\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1+\mathrm {i} }}\right)^{30}$.

Solution

${\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1+\mathrm {i} }}={\frac {2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}}{{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}}}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}$ et $\left({\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /12}\right)^{30}=2^{15}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /2}=2^{15}\mathrm {i}$.

 

Exercice 1-6

Calculer ${\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)^{5}-1}{\left(1+\mathrm {i} \right)^{5}+1}}$.

Solution

$\left(1+\mathrm {i} \right)^{5}=2^{5/2}\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /4}=2^{5/2}\mathrm {i}$ donc ${\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)^{5}-1}{\left(1+\mathrm {i} \right)^{5}+1}}=-1$.

 

Exercice 1-7

Calculer les modules et les arguments des nombres complexes suivants :

• $z_{1}={\sqrt {3}}+\mathrm {i}$ ;
• $z_{2}=2\mathrm {i} +z_{1}$ ;
• $z_{3}={\frac {z_{2}}{z_{1}}}$.

Solution

• $z_{1}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ ;
• $z_{2}={\sqrt {3}}+3\mathrm {i} =2{\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$ ;
• $z_{3}={\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$.

 

Exercice 1-8

Calculer le module et l'argument de :

$z={\frac {1}{1+\mathrm {i} \tan \alpha }}$

lorsque $\alpha \not \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}$.

Solution

$z={\frac {\cos \alpha }{\cos \alpha +\mathrm {i} \sin \alpha }}=\cos \alpha \operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }$ donc $\left|z\right|=\left|\cos \alpha \right|$, et $\arg z=-\alpha {\text{ ou }}-\alpha +\pi$, selon le signe de $\cos \alpha$.

 

Exercice 1-10

Donner les parties réelle et imaginaire puis le module et l'argument de

$\left({1+\mathrm {i} \over 2-\mathrm {i} }\right)^{2}+{1-7\mathrm {i} \over 4+3\mathrm {i} }$.

Solution

$\left({1+\mathrm {i} \over 2-\mathrm {i} }\right)^{2}=\left({\frac {(1+\mathrm {i} )(2+\mathrm {i} )}{5}}\right)^{2}=\left({\frac {1+3\mathrm {i} }{5}}\right)^{2}={-8+6\mathrm {i} \over 25}$ (ou : $\dots ={2\mathrm {i} \over 3-4\mathrm {i} }={2\mathrm {i} (3+4\mathrm {i} ) \over 25}=\dots$), et

${1-7\mathrm {i} \over 4+3\mathrm {i} }={(1-7\mathrm {i} )(4-3i) \over 25}={-17-31\mathrm {i} \over 25}$, d'où

$\left({1+\mathrm {i} \over 2-\mathrm {i} }\right)^{2}+{1-7\mathrm {i} \over 4+3\mathrm {i} }={-25-25\mathrm {i} \over 25}=-1-\mathrm {i}$ donc

les parties réelle et imaginaire valent $-1$, le module vaut ${\sqrt {2}}$ et l'argument $-3\pi /4$.

 

Si les exercices de cette page vous ont paru trop simples voir éventuellement d'autres exercices plus compliqués sur les modules et les arguments.