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Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

Leçons de niveau 12
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Sur la trigonométrie
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Exercices no4
Leçon : Approche géométrique des nombres complexes
Chapitre du cours : Apports à la trigonométrie

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Réels et imaginaires purs
Exo suiv. :Sur les racines n-ièmes
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Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie
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On pose .

a)  Déterminer les réels tels que .

b)  Si , calculer , , , et .

Déterminer le module et l'argument des nombres complexes suivants :

  •  ;
  •  ;
  • .

En déduire et , puis et .

 Écrire la représentation trigonométrique de

et
.
Représenter leurs images dans le plan complexe.

 Résoudre dans l'équation :

.

Vérifier que les solutions, et , s'expriment simplement à l'aide de et .

 Construire les images et de et . Écrire la représentation trigonométrique de et .

 En déduire les valeurs de , , et , puis et .

Linéariser les expressions suivantes :

a)   ;

b)   ;

c)   ;

d)   ;

e)   ;

f)   ;

g)   .

Dans cet exercice, désigne le nombre complexe :

.

 Vérifier que .

En déduire la relation :
.

 a)  Exprimer , , et sous forme trigonométrique.

b)  Démontrer les égalités :
.

 Utiliser les résultats des questions précédentes pour trouver une relation entre et ,

puis montrer que est racine de l'équation .
En déduire la valeur de .

On rappelle que si est un nombre complexe différent de et un élément de  :

.

Soit un élément de  ; on pose pour élément de  :

et .

 Calculer le nombre complexe .

 En déduire :

  • si ,  ;
  • si , .

Soit tel que .

  1. Démontrer que , où désigne .
  2. En déduire que et sont les deux racines de .
  3. Combien vaut leur somme ?

Si les exercices de cette page vous ont paru trop simples voir éventuellement d'autres exercices plus compliqués sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes. Voir aussi les exercices de la leçon Trigonométrie.