Leçons de niveau 13

Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

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Sur les applications géométriques
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Exercices no7
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Sur les racines n-ièmes
Exo suiv. :Sur les fonctions complexes
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques
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Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

Identifier l'ensemble décrit par l'image du complexe tel que :

a)  ;

b)  ;

c) .

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

 Quel est l'ensemble des nombres complexes vérifiant  ?

Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en associant à tout point du plan euclidien son affixe .

 Soit . Déterminez l’ensemble des nombres complexes vérifiant .

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine , soient :

  • d'affixe  ;
  • le symétrique de par rapport à la droite d'équation  ;
  • le symétrique de par rapport à la droite d'équation .

 En fonction de et , calculez et , affixes respectives de et , puis le rapport .

 En déduire une mesure de l'angle et la valeur du rapport .

 Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats ?

Exercice 7-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit réel.

 Rappelez quel est l'ensemble décrit par l'image de quand décrit .

 Calculez le module de , pour réel.

Démontrez que si est différent de , il peut s'écrire .
Calculez en fonction de .

 En fonction de , calculez le module et un argument de .

 Déterminez l'ensemble décrit par l'image de quand décrit .

Exercice 7-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient, dans le plan complexe :

  • et d'affixes respectives et  ;
  • l'image de par la rotation de centre , d'angle  ;
  • l’image de par la rotation de centre , d'angle .

 En fonction de et , exprimez les affixes de et .

 Déterminez l'affixe du milieu de .

 Déterminez l'affixe du point tel que .

 Démontrez que , médiane du triangle , est une hauteur de , et que .

Exercice 7-6[modifier | modifier le wikicode]

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormal , on considère :

  • le point d'affixe , et réels ;
  • le point d'affixe  ;
  • le point d'affixe  ;
  • le point d'affixe .

 Quelles conditions doit vérifier pour que l'on ait et  ?

Dans les questions suivantes, ces conditions sont supposées remplies.

 Montrez que est parallèle à si, et seulement si, .

En déduire l'ensemble des points tels que les droites et soient parallèles.

 Déterminez, de la même manière, l'ensemble des points tels que les droites et soient perpendiculaires.

Exercice 7-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit un plan orienté muni d'un repère orthonormal direct . À tout point de on associe son affixe complexe .

Soient , et les racines cubiques de l'unité, où .

On se propose d'étudier la propriété (E) suivante, relative à un triplet de points de  :

(E) : Les affixes des points satisfont :

.

 Soit une translation de vecteur définie dans .

Montrez que si le triplet a la propriété (E), il en est de même de .

 Soit un triangle équilatéral dont les sommets sont disposés de sorte qu'une mesure de l'angle soit .

Montrez que a la propriété (E).

 Caractérisez géométriquement la propriété (E).

Exercice 7-8[modifier | modifier le wikicode]

Déterminez l'ensemble des points du plan euclidien dont l'affixe vérifie :

.