Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

Exercice 7-1

Identifier l'ensemble décrit par l'image du complexe $z$ tel que :

a) $|\arg z|=\frac{\pi }{4}mod2\pi$ ;

b) $|z-2\mathrm{i}|=2$ ;

c) $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=2$.

Solution

a) Union de la demi-droite $y=x>0$ et de la demi-droite $-y=x>0$.

b) Cercle de centre $(0,2)$ et de rayon $2$.

c) Cercle de centre $(-\frac{5}{3},0)$ et de rayon $\frac{4}{3}$ car

$(x-1{)}^2+y^2=4((x+1{)}^2+y^2)\iff {(x+\frac{5}{3})}^2+y^2=\frac{16}{9}$.

 

Exercice 7-2

1°  Quel est l'ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant $|z-1|=|\overline{z}+1|$ ?

Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en associant à tout point $M$ du plan euclidien son affixe $z$.

2°  Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Déterminer l’ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant ${(z-1)}^n={(\overline{z}+1)}^n$.

Solution

1. $|z-1{|}^2=|\overline{z}+1{|}^2\iff (z-1)(\overline{z}-1)=(\overline{z}+1)(z+1)\iff z+\overline{z}=0\iff z\in \mathrm{i}ℝ$, qui correspond à la médiatrice des points $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe $-1$ ($|z-1|=MA$ et $|\overline{z}+1|=|z+1|=MB$).
2. ${(z-1)}^n={(\overline{z}+1)}^n\iff z\in \mathrm{i}ℝ\text{ et }{(z-1)}^n=(-1{)}^n{(z-1)}^n$ donc l'ensemble des solutions est $\mathrm{i}ℝ$ si $n$ est pair, et $\varnothing$ si $n$ est impair.

 

Exercice 7-3

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine $O$, soient :

• $M$ d'affixe $z=a+b\mathrm{i}(a,b)\in {ℝ}^2$ ;
• $M^{\prime }$ le symétrique de $M$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ ;
• $M^{″}$ le symétrique de $M^{\prime }$ par rapport à la droite d'équation $x=0$.

1°  En fonction de $a$ et $b$, calculer $z^{\prime }$ et $z^{″}$, affixes respectives de $M^{\prime }$ et $M^{″}$, puis le rapport $\frac{z^{″}}{z}$.

2°  En déduire une mesure de l'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O{M}^{″}}}\right)$ et la valeur du rapport $\frac{O{M}^{″}}{OM}$.

3°  Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats ?

Solution

1. $z^{\prime }=b+a\mathrm{i}$ et $z^{″}=-b+a\mathrm{i}=z\mathrm{i}$.
2. Par conséquent, $\left(\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O{M}^{″}}}\right)=\frac{\pi }{2}$ et $O{M}^{″}=OM$.
3. La composée des deux symétries axiales est bien une rotation, de centre l'intersection des axes et d'angle le double de l'angle entre ces axes.

 

Exercice 7-4

Soit $z=\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi ,\phi$ réel.

1°  Rappeler quel est l'ensemble décrit par l'image de $z$ quand $\phi$ décrit $[0,2\pi [$.

2°  Calculer le module de $\frac{1+x\mathrm{i}}{1-x\mathrm{i}}$, pour $x$ réel.

Démontrer que si $z$ est différent de $-1$, il peut s'écrire $\frac{1+x\mathrm{i}}{1-x\mathrm{i}}$.

Calculer $x$ en fonction de $\phi$.

3°  En fonction de $\phi$, calculer le module et un argument de $z+1$.

4°  Déterminer l'ensemble décrit par l'image de $z+1$ quand $\phi$ décrit $[0,2\pi [$.

Solution

1. L'image de $z$ décrit le cercle unité.
2. Soit $\theta =\arctan x$. Le complexe $\frac{1+x\mathrm{i}}{1-x\mathrm{i}}=\frac{1+\mathrm{i}\tan \theta }{1-\mathrm{i}\tan \theta }={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\theta }$ est de module $1$.
   Si $z\ne -1$ alors $\theta :=\frac{\phi }{2}\equiv ̸\frac{\pi }{2}mod\pi$ donc $x:=\tan \theta =\tan \frac{\phi }{2}$ est bien défini, et $z=\frac{1+x\mathrm{i}}{1-x\mathrm{i}}$.
3. $z+1=1+\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi =2\cos \frac{\phi }{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi /2}$ (de module $2|\cos \frac{\phi }{2}|$ et d'argument $\frac{\phi }{2}$ ou $\frac{\phi }{2}+\pi$, selon le signe de $\cos \frac{\phi }{2}$).
4. D'après la question 1, l'image de $z+1$ décrit le cercle de rayon $1$ dont le centre a pour affixe $1$.

 

Exercice 7-5

Soient, dans le plan complexe :

• $B$ et $C$ d'affixes respectives $b$ et $c$ ;
• $B^{\prime }$ l'image de $B$ par la rotation de centre $O$, d'angle $-\frac{\pi }{2}$ ;
• $C^{\prime }$ l’image de $C$ par la rotation de centre $O$, d'angle $\frac{\pi }{2}$.

1°  En fonction de $b$ et $c$, exprimer les affixes de $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$.

2°  Déterminer l'affixe du milieu $M$ de $[B^{\prime },C^{\prime }]$.

3°  Déterminer l'affixe du point $K$ tel que $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{BC}$.

4°  Démontrer que $(OM)$, médiane du triangle $(O,B^{\prime },C^{\prime })$, est une hauteur de $(O,B,C)$, et que $2OM=BC$.

Solution

1. $b^{\prime }=-\mathrm{i}b$ et $c^{\prime }=\mathrm{i}c$.
2. $\frac{b^{\prime }+c^{\prime }}{2}=\mathrm{i}\frac{c-b}{2}$.
3. $k=c-b$.
4. L'affixe de $2\overrightarrow{OM}$ est $\mathrm{i}(c-b)$.

 

Exercice 7-6

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormal $(0;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère :

• le point $M$ d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$, $x$ et $y$ réels ;
• le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=x+4\mathrm{i}y$ ;
• le point $A$ d'affixe $-7$ ;
• le point $B$ d'affixe $5$.

1°  Quelles conditions doit vérifier $z$ pour que l'on ait $M\ne A$ et $M^{\prime }\ne B$ ?

Dans les questions suivantes, ces conditions sont supposées remplies.

2°  Montrer que $(AM)$ est parallèle à $(B{M}^{\prime })$ si, et seulement si, $\frac{z+7}{z^{\prime }-5}\in {ℝ}^{\ast }$.

En déduire l'ensemble $D$ des points $M$ tels que les droites $(AM)$ et $(B{M}^{\prime })$ soient parallèles.

3°  Déterminer, de la même manière, l'ensemble $E$ des points $M$ tels que les droites $(AM)$ et $(B{M}^{\prime })$ soient perpendiculaires.

Solution

1. $z\ne -7\text{ et }{z}^{\prime }\ne 5\iff z\notin \{-7,5\}$.
2. $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\overrightarrow{B{M}^{\prime }}$ si et seulement si $\left|\begin{array}{cc}x+7& x-5\\ y& 4y\end{array}\right|=0$, c'est-à-dire $3y(x+11)=0$.
   $D$ est donc l'union des deux droites d'équations $x=-11$ et $y=0$.
3. De même, $(AM)\perp (B{M}^{\prime })\iff \frac{z+7}{\mathrm{i}(z^{\prime }-5)}\in {ℝ}^{\ast }\iff 0=\left|\begin{array}{cc}x+7& -4y\\ y& x-5\end{array}\right|=x^2+2x-35+4y^2={(x+1)}^2+4y^2-36$.
   $E$ est donc l'ellipse d'équation $\frac{{(x+1)}^2}{6^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$, de sommets $(5,0)$, $(-7,0)$, $(-1,3)$ et $(-1,-3)$.

 

Exercice 7-7

Soit $𝒫$ un plan orienté muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2)$. À tout point $M$ de $𝒫$ on associe son affixe complexe $m$.

Soient $1$, $\mathrm{j}$ et ${\mathrm{j}}^2$ les racines cubiques de l'unité, où $\mathrm{j}=\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3}$.

On se propose d'étudier la propriété (E) suivante, relative à un triplet $(A,B,C)$ de points de $𝒫$ :

(E) : Les affixes $a,b,c$ des points $A,B,C$ satisfont :

$a+b\mathrm{j}+c{\mathrm{j}}^2=0$.

1°  Soit $T_{\overrightarrow{v}}$ une translation de vecteur $\overrightarrow{v}$ définie dans $𝒫$.

Montrer que si le triplet $(A,B,C)$ a la propriété (E), il en est de même de $(T_{\overrightarrow{v}}(A),T_{\overrightarrow{v}}(B),T_{\overrightarrow{v}}(C))$.

2°  Soit un triangle équilatéral dont les sommets $A,B,C$ sont disposés de sorte qu'une mesure de l'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right)$ soit $\frac{\pi }{3}$.

Montrer que $(A,B,C)$ a la propriété (E).

3°  Caractériser géométriquement la propriété (E).

Solution

1°  Soit $v$ l'affixe de $\overrightarrow{v}$. $(a+v)+(b+v)\mathrm{j}+(c+v){\mathrm{j}}^2=a+b\mathrm{j}+c{\mathrm{j}}^2+v(1+\mathrm{j}+{\mathrm{j}}^2)=a+b\mathrm{j}+c{\mathrm{j}}^2$.

2° et 3°  Voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la géométrie#Triangle équilatéral.

 

Exercice 7-8

Déterminer l'ensemble des points du plan euclidien dont l'affixe $z$ vérifie :

$|(1+\mathrm{i})\overline{z}-2\mathrm{i}|=2$.

Solution

$|(1+\mathrm{i})\overline{z}-2\mathrm{i}|=|1+\mathrm{i}||\overline{z}-\frac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}|=\sqrt{2}|\overline{z}-(1+\mathrm{i})|=\sqrt{2}|z-(1-\mathrm{i})|$ est égal à $2$ si et seulement si le point d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ dont le centre a pour coordonnées $(1,-1)$.