Complexes et géométrie/Devoir/Construction du pentagone régulier

On pose :

$z_{0}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{5}}}$.

1°  On pose :

$\alpha =z_{0}+z_{0}^{4}$ et $\beta =z_{0}^{2}+z_{0}^{3}$.

a)  Montrez que :

$1+z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4}=0$

et déduisez-en que α et β sont solutions de l'équation :

$X^{2}+X-1=0\qquad [1]$.

b)  Déterminez α en fonction de ${\textstyle \cos {\frac {2\pi }{5}}}$.

c)  Résolvez l'équation [1] et déduisez-en la valeur de ${\textstyle \cos {\frac {2\pi }{5}}}$.

2°  On appelle $A_{0}$, $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ et $A_{4}$ les points d'affixes respectives $1$, $z_{0}$, $z_{0}^{2}$, $z_{0}^{3}$ et $z_{0}^{4}$, dans le plan muni d'un repère orthonormal $(0;{\vec {u}},{\vec {v}})$.

a)  Soit $H$ le point d'intersection de la droite $(A_{1}A_{4})$ avec l'axe $(O;{\vec {u}})$. Montrez que :

${\overrightarrow {OH}}=\cos {\frac {2\pi }{5}}\,{\vec {u}}$.

b)  Le cercle dont le centre a pour affixe ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ et qui passe par le point d'affixe $\mathrm {i}$ coupe $(O;{\vec {u}})$ en $M$ et $N$ (on note $M$ le point d'abscisse positive). Montrez que :

${\begin{cases}{\overrightarrow {OM}}=\alpha {\vec {u}}\\{\overrightarrow {ON}}=\beta {\vec {u}}\end{cases}}$

et que $H$ est le milieu de $[OM]$.

c)  Déduisez-en une construction simple d'un pentagone régulier dont on connaît le centre $O$ et un sommet $A_{0}$.

Corrigé

1°  a)  $1+z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4}={\frac {1-z_{0}^{5}}{1-z_{0}}}={\frac {0}{1-z_{0}}}=0$ donc $\alpha \beta =\alpha +\beta =-1$, c'est-à-dire que $\alpha$ et $\beta$ sont les deux solutions de l'équation [1].

b)  $z_{0}^{4}=z_{0}^{-1}={\overline {z_{0}}}$ donc $\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{5}}$.

c)  Les deux solutions de [1] (de signes contraires) sont ${\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$, or $0<{\frac {2\pi }{5}}<{\frac {\pi }{2}}$, donc $\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$.

2°  a)  $\operatorname {Re} \left(A_{1}\right)=\operatorname {Re} \left(A_{4}\right)=\cos {\frac {2\pi }{5}}$.

b)  Les affixes de $M$ et $N$ sont les solutions de [1] car $\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=\left|\mathrm {i} +{\frac {1}{2}}\right|^{2}\Leftrightarrow x^{2}+x+{\frac {1}{4}}={\frac {5}{4}}$. Ce sont donc bien $\alpha$ et $\beta$ et d'après a) et 1° b), $H$ est le milieu de $[OM]$.

c)  Tracer le cercle de centre $O$ et de rayon $[OA_{0}]$.

Construire le milieu $\Omega$ du rayon opposé, et une extrémité $I$ du diamètre perpendiculaire.

Tracer (partiellement) un second cercle, de centre $\Omega$ et passant par $I$, et noter $M$ son intersection avec la demi-droite $[OA)$.

Construire les intersections $A_{1}$ et $A_{4}$ du premier cercle avec la médiatrice de $[OM]$.

Placer $A_{2}$ et $A_{3}$ sur ce cercle, en reportant la longueur $A_{0}A_{1}=A_{0}A_{4}$ à partir des points $A_{1}$ et $A_{4}$.

 

Faites ces exercices : Nombre d'or.