Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien

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Étude des variations

Début d’un théorème

Théorème

La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle $\left]0,+\infty \right[$, sur lequel elle est strictement croissante.

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\text{Variations de }}\ln &&\nearrow &\\\end{array}}$

Fin du théorème

En effet, $\forall x>0\quad \ln '(x)={\frac {1}{x}}>0$.

Étude du signe

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&1&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}\ln(x)&&-&0&+&\\\end{array}}$

En effet, $\ln$ est strictement croissante et s'annule en $1$.

Étude des limites

Limite en +∞

$\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$

Démonstration

Comme on sait que $\ln$ est croissante, il suffit de regarder l’évolution de $\ln(x_{n})$ sur une suite $(x_{n})$ de valeurs tendant vers $+\infty$, par exemple $x_{n}=2^{n}$.

$\ln(2^{n})=n\ln(2)$ tend vers $+\infty$ quand n tend vers $+\infty$, car $\ln(2)>0$.

 

Limite en 0⁺

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$

Démonstration

Quand $x\to 0^{+}$, $y:={\frac {1}{x}}\to +\infty$ donc $\ln(y)\to +\infty$, donc $\ln(x)=-\ln(y)\to -\infty$.

 

Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.

Tableau de variations complet de la fonction ln

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}\ln '(x)&&+&\\\hline &&&+\infty \\{\text{Variations de }}\ln &&\nearrow &\\&-\infty &&\end{array}}$

Tangente remarquable

Propriété

Au point $(a,\ln a)$, la tangente a pour équation $y=\ln(a)+{\frac {1}{a}}(x-a)$. En particulier au point $(1,0)$, la tangente a pour équation $y=x-1$.

Propriété

La courbe est en dessous de toutes ses tangentes. En particulier :

$\forall x>0\quad \ln x\leq x-1$,

l'inégalité étant même stricte si $x\neq 1$.

Démonstration

Montrons d'abord que $\forall x\neq 1\quad \ln x<x-1$, en étudiant la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x-x+1$.

$f'(x)={\frac {1}{x}}-1={\frac {1-x}{x}}$ est (strictement) du signe de $1-x$ donc $f$ a un maximum (strict) en $1$. Par conséquent, on a bien

$\forall x\neq 1\quad f(x)<f(1)=0$, c'est-à-dire $\ln x<x-1$.

Par changement de variable, on en déduit que plus généralement, pour tout $a>0$,

$\forall t\neq a\quad \ln \left({\frac {t}{a}}\right)<{\frac {t}{a}}-1$, c'est-à-dire $\ln t<\ln(a)+{\frac {1}{a}}(t-a)$.

 

Courbe représentative

Le nombre e et l’équation ln(x) = 1

D’après le tableau de variations, $\ln$ est une bijection de $\left]0,+\infty \right[$ sur $\mathbb {R}$. En particulier :

Début d’un théorème

Théorème

Il existe un unique réel, noté $\mathrm {e}$ (constante de Neper, ou parfois nombre d'Euler) tel que $\ln(\mathrm {e} )=1$.

Fin du théorème

Propriété

Le nombre $\mathrm {e}$ est irrationnel, de valeur approchée 2,718.

(En fait, e est même transcendant.)