Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

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Dérivée de la fonction exponentielle

Rappel

La dérivée de la fonction $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ est elle-même :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp '(x)=\mathrm {e} ^{x}$.

Cette propriété est inhérente à la définition de $\exp$ comme solution d'une équation différentielle (chap. 1). Nous avons admis (chap. 2) que cette définition de $\exp$ est équivalente à celle à partir du logarithme.

Variations de la fonction exponentielle

Positivité de l'exponentielle

Début d’un théorème

Théorème

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp(x)>0$.

Fin du théorème

Démonstration

C'est une conséquence de la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle.

 

Variations de la fonction exponentielle

Corollaire

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb {R}$.

En effet, $\exp '=\exp >0$.

Limites aux bornes

Les deux propositions ci-dessous seront généralisées et démontrées au chapitre suivant.

Limite en + ∞

Proposition

$\lim _{x\to +\infty }\mathrm {e} ^{x}=+\infty$.

Limite en -∞

Proposition

$\lim _{x\to -\infty }\mathrm {e} ^{x}=0$.

Courbe représentative

Tangente remarquable

Propriété

Au point $(a,\mathrm {e} ^{a})$, la tangente a pour équation $y=\mathrm {e} ^{a}(1+x-a)$. En particulier au point $(0,1)$, la tangente a pour équation $y=1+x$.

On peut donc donner une approximation affine de exp au voisinage de 0 :

$\mathrm {e} ^{x}\approx 1+x$.

Démonstration

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est

$y=\exp(a)+\exp '(a)(x-a)$,

or

$\exp '(a)=\exp '(a)=\mathrm {e} ^{a}$.

 

Propriété

La courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier :

$\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>1+x$.

Démonstration

Montrons d'abord que $\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>1+x$, en étudiant la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}-1-x$.

$f'(x)=\mathrm {e} ^{x}-1$ est du signe de $x$ (strictement) donc $f$ a un minimum (strict) en $0$. Par conséquent, on a bien

$\forall x\neq 0\quad f(x)>f(0)=0$, c'est-à-dire $\mathrm {e} ^{x}>1+x$.

Par changement de variable, on en déduit que plus généralement,

$\forall t\neq a\quad \mathrm {e} ^{t-a}>1+t-a$, c'est-à-dire $\mathrm {e} ^{t}>\mathrm {e} ^{a}(1+t-a)$.