Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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Lorsqu'on définit la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme népérien, on en déduit immédiatement les propriétés algébriques ci-dessous. Lorsqu'on définit $\exp$ comme solution d'une équation différentielle, on parvient à les démontrer directement.

Propriété fondamentale

Propriété

$\forall a,b\in \mathbb {R} \quad \exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)$.

Démonstration

Posons, pour $y$ fixé, $\phi :x\mapsto {\frac {\exp(x+y)}{\exp(y)}}$ (on sait que $\exp(y)\neq 0$). Alors, $\phi (0)=1$ et pour tout x : $\phi '(x)={\frac {\exp '(x+y)}{\exp(y)}}={\frac {\exp(x+y)}{\exp(y)}}=\phi (x)$. D'après ce théorème, pour tout $x,~\phi (x)=\exp(x)$.

On a bien montré que pour tous x et y, $\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)$.

 

Les fonctions continues vérifiant cette même équation fonctionnelle seront étudiées au chapitre 8. On verra qu'elles coïncident avec les solutions de l'équation différentielle générale rencontrées au chapitre 1.

Conséquences

Les formules suivantes se déduisent de la propriété algébrique fondamentale.

Propriété

• Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp(a-b)={\frac {\exp(a)}{\exp(b)}}$.
• Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$, $\exp(nx)=(\exp(x))^{n}$.

Démonstration

• Soient $a,b\in \mathbb {R}$. On sait que $\exp(-b)=1/\exp(b)$.

On en déduit :

• ${\begin{aligned}\exp(a-b)&=\exp(a+(-b))\\&=\exp(a)\times \exp(-b)\\&={\frac {\exp(a)}{\exp(b)}}.\end{aligned}}$

• Soit $x\in \mathbb {R}$ :
  • On note, pour tout $n\in \mathbb {N}$, la propriété ${\mathcal {H}}_{n}$ : « $\exp(nx)=(\exp(x))^{n}$ »
  • Initialisation : Pour n = 0, $\exp(0)=1=(\exp(x))^{0}$ donc ${\mathcal {H}}_{0}$ est vraie
  • Soit $n\in \mathbb {N}$ tel que ${\mathcal {H}}_{n}$ soit vraie
    ${\begin{aligned}(\exp(x))^{n+1}&=(\exp(x))^{n}\times \exp(x)\\&=\exp(nx)\times \exp(x){\text{ par }}{\mathcal {H}}_{n}\\&=\exp(nx+x)\\&=\exp((n+1)x)\end{aligned}}$
  • Donc ${\mathcal {H}}_{n+1}$ est vraie.
• Le principe de récurrence permet de conclure que pour tout $n\in \mathbb {N} ,~\exp(nx)=(\exp(x))^{n}.$
• On en déduit, en utilisant à nouveau l'égalité $\exp(-b)=1/\exp(b)$, que pour $p=-n$ (entier négatif), on a encore $\exp(px)=(\exp(x))^{p}$.

 

Notation

Le nombre $\mathrm {e}$

Le réel $\mathrm {e} =\exp(1)\approx 2,71828$ s’appelle la constante de Néper ou nombre d'Euler.

Remarque

Une autre définition de ce nombre est donnée dans la leçon sur la fonction logarithme. Compte tenu du lien entre cette fonction et la fonction exponentielle, ces deux définitions sont équivalentes.

Début d’un principe

Notation

Pour tout réel $x$, $\exp(x)$ est aussi noté $\mathrm {e} ^{x}$.

Fin du principe

Cette notation étend donc aux exposants réels celle des puissances entières, de façon compatible d'après la propriété algébrique ci-dessus : le nombre $\mathrm {e}$ élevé à une puissance entière $n$ est bien égal à $\exp(n)$. Cette propriété s'étend même au cas où $n$ est un rationnel, voire, un réel.

Application

• Soit x tel que e^x = 3,56. Calculer e^2x+3 sans calculer x.

Solution

• $\mathrm {e} ^{2x}=\left(\mathrm {e} ^{x}\right)^{2}=12,6736$
• $\mathrm {e} ^{3}\approx 20,0855$
• Donc $\mathrm {e} ^{2x+3}=\mathrm {e} ^{2x}\times \mathrm {e} ^{3}\approx 254,5561$.

 

• Déterminer une valeur approchée de $\mathrm {e} ^{\frac {1}{2}}$ sans utiliser la touche « e^x » de la calculatrice.

Solution

$\mathrm {e} ^{\frac {1}{2}}$ est positif (c'est le carré de $\mathrm {e} ^{\frac {1}{4}}$) et son carré est égal à $\mathrm {e}$, donc $\mathrm {e} ^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\mathrm {e} }}\approx {\sqrt {2{,}718}}\approx 1{,}65$.