Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques

Problème 1

Soient H un groupe non commutatif et K un sous-groupe commutatif de H non contenu dans le centre de H. Puisque K est sous-groupe de H, il est clair que pour tout élément (x, y) de $K\times H$, (1,x) appartient lui aussi à $K\times H$. Il est clair aussi que l’application f : $(x,y)\mapsto (1,x)$ est un endomorphisme de $K\times H$. Montrer que le centre $Z(K\times H)$ de $K\times H$ n’est pas stable pour cet endomorphisme, c’est -à-dire que

$f(Z(K\times H))\not \subseteq Z(K\times H)$.

En déduire que le centre d'un groupe n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de ce groupe, ce qui montre qu'un sous-groupe caractéristique n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme.

Solution

Comme vu dans un exercice, le centre de $K\times H$ est $Z(K)\times Z(H)$. Puisque K est commutatif, Z(K) = K, donc le centre de $K\times H$ est $Z(K\times H)=K\times Z(H)$. Donc

$f(Z(K\times H))=\{1\}\times K$.

Puisque, par hypothèse, K n’est pas contenu dans le centre de H, il en résulte que $f(Z(K\times H))$ n’est pas contenu dans $K\times Z(H)$, autrement dit dans $Z(K\times H)$, ce qui démontre la première partie de l'énoncé.
Montrons maintenant qu’il existe des H et des K tels que dans l'énoncé. Choisissons un groupe non commutatif H (par exemple le groupe symétrique d'un ensemble d'au moins trois éléments). Puisque H n’est pas commutatif, son centre n’est pas égal à H tout entier. Choisissons un élément a de H qui n'appartient pas au centre de H. Le sous-groupe <a> de H engendré par a est commutatif et n’est pas contenu dans le centre de H, donc il convient pour K. Compte tenu de la première partie de la solution, nous avons prouvé que le centre d'un groupe G n’est pas forcément stable par tout endomorphisme de G.

 

Problème 2 (facile)

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On a vu dans les exercices de la série Théorèmes de Sylow que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.

Solution

Soit $\sigma$ un automorphisme de G. L'image par $\sigma$ de l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des images de ces sous-groupes par $\sigma$ :

(1) $\qquad \sigma (\bigcap _{P}P)=\bigcap _{P}\sigma (P),$

où P parcourt les p-sous-groupes de Sylow de G.
Puisque les p-sous-groupes de Sylow de G sont les sous-groupes de G d'un certain ordre, les images de ces sous-groupes par $\sigma$ sont ces mêmes sous-groupes, donc (1) peut s'écrire

$\qquad \sigma (\bigcap _{P}P)=\bigcap _{P}P,$

ce qui montre que $\bigcap _{P}P$ est un sous-groupe caractéristique de G.
D'après un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur, $\sigma (N_{G}(P))=N_{G}(\sigma (P))$. On vient de voir que les images des p-sous-groupes de Sylow de G par $\sigma$ sont ces mêmes sous-groupes de Sylow, donc, si on fait parcourir à P les p-sous-groupes de Sylow de G,

$\sigma (\bigcap _{P}N_{G}(P))=\bigcap _{P}\sigma (N_{G}(P))=\bigcap _{P}N_{G}(\sigma (P))=\bigcap _{P}N_{G}(P),$

ce qui montre que $\bigcap _{P}N_{G}(P)$ est un sous-groupe caractéristique de G.