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Exercice : Généralité
Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
et
deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné
(
). Quel est le signe de
où
désigne un nombre réel ?
En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :
.
Aide : On pourra développer
, et la considérer comme un polynôme en
, de degré inférieur ou égal à 2.
Solution
Pour tout réel
,
![{\displaystyle 0\leq \int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t=A\lambda ^{2}+2B\lambda +C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6fccb975cb3b1c786d74f3963250488ff5cf40)
avec
,
et
, et l'on veut en déduire que
.
Si
, en appliquant l'inégalité précédente à
, on trouve :
, qui équivaut à l'inégalité souhaitée.
Si
alors
est la fonction nulle donc
.
Démontrer que, si
et
deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle
(
) telles que, pour tout
de
,
, alors :
.
Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.
Solution
Posons
et
. Alors :
;
- d'après l'inégalité de Schwarz,
;
donc
.
L'inégalité annoncée se déduit de ces trois points.
Soient
et
deux fonctions continues sur
(
), avec
non constamment nulle. Démontrer que si
garde un signe constant sur
et si
, on a :
.
Soit
une fonction continue et soit
. On suppose que
et que
. Pour tout entier
, on pose
.
1° Prouver que
.
2° Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif
, il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes)
, sur lequel
.
- En déduire que
.
3° Démontrer que
.
Solution
1° En intégrant
de
à
, on trouve
. On conclut en prenant les racines
-ièmes.
2° Par définition de
, il existe
tel que
. Par continuité de
en ce point, il existe dans
un intervalle non trivial
(contenant
) sur lequel
.
- En intégrant
de
à
, on trouve
. On conclut en prenant les racines
-ièmes.
3° Soit
.
donc d'après la question 1, pour tout
suffisamment grand,
.
- De même, d'après la question 2, pour tout
suffisamment grand,
.
- D'après ces deux points,
.
- Remarque
- Un exercice de niveau 16 montre que la suite
(qui, d'après ce qui précède, converge vers
) est croissante.