Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité

Exercice 1-1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ ($a<b$). Quel est le signe de

$\int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$

où $\lambda$ désigne un nombre réel ?

En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :

$\left[\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\right]^{2}\leqslant \int _{a}^{b}[f(t)]^{2}\,\mathrm {d} t\int _{a}^{b}[g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$.

Aide : On pourra développer $\int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$, et la considérer comme un polynôme en $\lambda$, de degré inférieur ou égal à 2.

Solution

Pour tout réel $\lambda$,

$0\leq \int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t=A\lambda ^{2}+2B\lambda +C$

avec $A=\int _{a}^{b}[f(t)]^{2}\,\mathrm {d} t\geq 0$, $B=\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t$ et $C=\int _{a}^{b}[g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$, et l'on veut en déduire que $B^{2}\leq AC$.

Si $A>0$, en appliquant l'inégalité précédente à $\lambda =-B/A$, on trouve : $0\leq C-B^{2}/A$, qui équivaut à l'inégalité souhaitée.

Si $A=0$ alors $f$ est la fonction nulle donc $B^{2}=0=AC$.

 

Exercice 1-2

Démontrer que, si $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle $[a,b]$ ($a<b$) telles que, pour tout $x$ de $[a,b]$, $f(x)g(x)\geq 1$, alors :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\geq (a-b)^{2}$.

Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.

Solution

Posons $F(x)={\sqrt {f(x)}}$ et $G(x)={\sqrt {g(x)}}$. Alors :

• $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}[F(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}[G(x)]^{2}\,\mathrm {d} x$ ;
• d'après l'inégalité de Schwarz, $\int _{a}^{b}[F(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}[G(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{a}^{b}F(x)G(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}$ ;
• $F(x)G(x)={\sqrt {f(x)g(x)}}\geq 1$ donc $\int _{a}^{b}F(x)G(x)\,\mathrm {d} x\geq \int _{a}^{b}1\,\mathrm {d} x=b-a$.

L'inégalité annoncée se déduit de ces trois points.

 

Exercice 1-3

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ($a<b$), avec $g$ non constamment nulle. Démontrer que si $g$ garde un signe constant sur $[a,b]$ et si $m\leq f\leq M$, on a :

$m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t}}\leq M$.

Solution

Supposons par exemple $g\geq 0$ (si $g\leq 0$, on aura la même conclusion en remplaçant $g$ par $-g$).

Alors, $mg\leq fg\leq Mg$ donc $m\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t\leq \int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\leq M\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$. La conclusion s'ensuit en divisant les trois membres de cet encadrement par $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$, qui est $>0$.

 

Exercice 1-4

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction continue et soit $M=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$. On suppose que $a<b$ et que $M>0$. Pour tout entier $n>0$, on pose $\|f\|_{n}={\sqrt[{n}]{\int _{a}^{b}|f(t)|^{n}\,\mathrm {d} t}}$.

1°  Prouver que $\|f\|_{n}\leq M{\sqrt[{n}]{b-a}}$.

2°  Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif $\varepsilon$, il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes) $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, sur lequel $|f|>M-\varepsilon$.

En déduire que $\|f\|_{n}>(M-\varepsilon ){\sqrt[{n}]{\beta -\alpha }}$.

3°  Démontrer que $\lim _{n\to \infty }\|f\|_{n}=M$.

Solution

1°  En intégrant $|f|^{n}\leq M^{n}$ de $a$ à $b$, on trouve $\|f\|_{n}^{n}\leq M^{n}(b-a)$. On conclut en prenant les racines $n$-ièmes.

2°  Par définition de $M$, il existe $x\in [a,b]$ tel que $|f(x)|>M-\varepsilon$. Par continuité de $f$ en ce point, il existe dans $[a,b]$ un intervalle non trivial $[\alpha ,\beta ]$ (contenant $x$) sur lequel $|f|>M-\varepsilon$.

En intégrant $|f|^{n}>(M-\varepsilon )^{n}$ de $\alpha$ à $\beta$, on trouve $\|f\|_{n}^{n}>(M-\varepsilon )^{n}(\beta -\alpha )$. On conclut en prenant les racines $n$-ièmes.

3°  Soit $\varepsilon >0$.

• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{b-a}}=1$ donc d'après la question 1, pour tout $n$ suffisamment grand, $\|f\|_{n}\leq M+\varepsilon$.
• De même, d'après la question 2, pour tout $n$ suffisamment grand, $\|f\|_{n}>M-2\varepsilon$.

D'après ces deux points, $\lim _{n\to \infty }\|f\|_{n}=M$.

Remarque

Un exercice de niveau 16 montre que la suite $\left({\frac {\|f\|_{n}}{\sqrt[{n}]{b-a}}}\right)$ (qui, d'après ce qui précède, converge vers $M$) est croissante.