Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité

Exercice 1-1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ ($a<b$). Quel est le signe de

${\int }_a^b[f(t)+\lambda g(t){]}^2\mathrm{d}t$

où $\lambda$ désigne un nombre réel ?

En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :

${[{\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t]}^2⩽{\int }_a^b[f(t){]}^2\mathrm{d}t{\int }_a^b[g(t){]}^2\mathrm{d}t$.

Aide : On pourra développer ${\int }_a^b[f(t)+\lambda g(t){]}^2\mathrm{d}t$, et la considérer comme un polynôme en $\lambda$, de degré inférieur ou égal à 2.

Solution

Pour tout réel $\lambda$,

$0\le {\int }_a^b[f(t)+\lambda g(t){]}^2\mathrm{d}t=A{\lambda }^2+2B\lambda +C$

avec $A={\int }_a^b[f(t){]}^2\mathrm{d}t\ge 0$, $B={\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t$ et $C={\int }_a^b[g(t){]}^2\mathrm{d}t$, et l'on veut en déduire que $B^2\le AC$.

Si $A>0$, en appliquant l'inégalité précédente à $\lambda =-B/A$, on trouve : $0\le C-B^2/A$, qui équivaut à l'inégalité souhaitée.

Si $A=0$ alors $f$ est la fonction nulle donc $B^2=0=AC$.

 

Exercice 1-2

Démontrer que, si $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle $[a,b]$ ($a<b$) telles que, pour tout $x$ de $[a,b]$, $f(x)g(x)\ge 1$, alors :

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\ge (a-b{)}^2$.

Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.

Solution

Posons $F(x)=\sqrt{f(x)}$ et $G(x)=\sqrt{g(x)}$. Alors :

• ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b[F(x){]}^2\mathrm{d}x{\int }_a^b[G(x){]}^2\mathrm{d}x$ ;
• d'après l'inégalité de Schwarz, ${\int }_a^b[F(x){]}^2\mathrm{d}x{\int }_a^b[G(x){]}^2\mathrm{d}x\ge {({\int }_a^{b}F(x)G(x)\mathrm{d}x)}^2$ ;
• $F(x)G(x)=\sqrt{f(x)g(x)}\ge 1$ donc ${\int }_a^{b}F(x)G(x)\mathrm{d}x\ge {\int }_a^{b}1\mathrm{d}x=b-a$.

L'inégalité annoncée se déduit de ces trois points.

 

Exercice 1-3

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ($a<b$), avec $g$ non constamment nulle. Démontrer que si $g$ garde un signe constant sur $[a,b]$ et si $m\le f\le M$, on a :

$m\le \frac{{\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t}{{\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t}\le M$.

Solution

Supposons par exemple $g\ge 0$ (si $g\le 0$, on aura la même conclusion en remplaçant $g$ par $-g$).

Alors, $mg\le fg\le Mg$ donc $m{\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t\le {\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t\le M{\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t$. La conclusion s'ensuit en divisant les trois membres de cet encadrement par ${\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t$, qui est $>0$.

 

Exercice 1-4

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction continue et soit $M=\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|$. On suppose que $a<b$ et que $M>0$. Pour tout entier $n>0$, on pose $\Vert f{\Vert }_n=\sqrt[n]{{\int }_a^b|f(t){|}^n\mathrm{d}t}$.

1°  Prouver que $\Vert f{\Vert }_n\le M\sqrt[n]{b-a}$.

2°  Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif $\epsilon$, il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes) $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, sur lequel $|f|>M-\epsilon$.

En déduire que $\Vert f{\Vert }_n>(M-\epsilon )\sqrt[n]{\beta -\alpha }$.

3°  Démontrer que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert f{\Vert }_n=M$.

Solution

1°  En intégrant $|f{|}^n\le M^n$ de $a$ à $b$, on trouve $\Vert f{\Vert }_n^n\le M^n(b-a)$. On conclut en prenant les racines $n$-ièmes.

2°  Par définition de $M$, il existe $x\in [a,b]$ tel que $|f(x)|>M-\epsilon$. Par continuité de $f$ en ce point, il existe dans $[a,b]$ un intervalle non trivial $[\alpha ,\beta ]$ (contenant $x$) sur lequel $|f|>M-\epsilon$.

En intégrant $|f{|}^n>(M-\epsilon {)}^n$ de $\alpha$ à $\beta$, on trouve $\Vert f{\Vert }_n^n>(M-\epsilon {)}^n(\beta -\alpha )$. On conclut en prenant les racines $n$-ièmes.

3°  Soit $\epsilon >0$.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{b-a}=1$ donc d'après la question 1, pour tout $n$ suffisamment grand, $\Vert f{\Vert }_n\le M+\epsilon$.
• De même, d'après la question 2, pour tout $n$ suffisamment grand, $\Vert f{\Vert }_n>M-2\epsilon$.

D'après ces deux points, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert f{\Vert }_n=M$.

Remarque

Un exercice de niveau 16 montre que la suite $\left(\frac{\Vert f{\Vert }_n}{\sqrt[n]{b-a}}\right)$ (qui, d'après ce qui précède, converge vers $M$) est croissante.