Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité

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Généralité
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Exercices no1
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Aire et intégrale

Exercices de niveau 13.

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Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné (). Quel est le signe de

désigne un nombre réel ?

En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :

.

Aide : On pourra développer , et la considérer comme un polynôme en , de degré inférieur ou égal à 2.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que, si et deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle () telles que, pour tout de , , alors :

.

Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux fonctions continues sur (), avec non constamment nulle. Démontrer que si garde un signe constant sur et si , on a :

.

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction continue et soit . On suppose que et que . Pour tout entier , on pose .

1°  Prouver que .

2°  Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif , il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes) , sur lequel .

En déduire que .

3°  Démontrer que .