En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Polynômes de Legendre
Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On travaille dans
muni du produit scalaire
On pose
le n-ième polynôme de Legendre :
1. Vérifier que
est bien un produit scalaire sur E.
2. Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃.
3. Montrer que
est une famille orthonormale de
pour le produit scalaire
.
4.Montrer que
, λn vérifie l'équation différentielle
5. Montrer que λ vérifie l'équation
Solution
1. On reconnait dans
le produit scalaire usuel sur
.
2. Les calculs donnent :
,
,
,
.
3. Soient n et p deux entiers. On a :
.
En faisant une intégration par parties, il vient :
.
Là, on remarque que le polynôme
admet -1 et 1 comme racines, d'ordre p, donc
, et donc le terme entre crochets est nul.
On démontrera la dernière égalité par récurrence.