Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Résolutions trigonométriques

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Résolutions trigonométriques
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Chapitre no 6
Leçon : Équation du troisième degré
Chap. préc. :Simplification des racines
Chap. suiv. :Récapitulatif méthodes

Exercices :

Sur la résolution trigonométrique
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Équation du troisième degré/Résolutions trigonométriques
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Dans ce chapitre, nous allons étudier comment résoudre une équation du troisième degré à coefficients réels par une méthode purement trigonométrique. Certains des paragraphes de ce chapitre nécessitent une connaissance préliminaire sur la trigonométrie hyperbolique. Les personnes n'ayant pas étudié la trigonométrie hyperbolique peuvent sauter ces paragraphes sans problème. Ils ne sont pas utiles pour la suite du cours. Nous commencerons par étudier une méthode de résolution trigonométrique en cosinus et sinus. Nous étudierons ensuite une méthode de résolution en tangente. Les deux premières méthodes ne permettant pas a priori (mais voir la remarque finale) de trouver les racines complexes conjuguées dans une équation de discriminant négatif, nous aborderons une troisième méthode qui réalise cette fonction.

Résolution trigonométrique en cosinus et sinus[modifier | modifier le wikicode]

Soit à résoudre une équation de la forme :

.

(Nous savons que toute équation de degré 3 peut, par changement de variable, se mettre sous cette forme.)

Son discriminant,

,

sera supposé non nul, et l'on supposera aussi p ≠ 0 (vous devez deviner pourquoi).

L'idée dans toute cette section, due à François Viète, est d'exploiter les identités trigonométriques

et leur équivalents en trigonométrie hyperbolique :

.

Premier cas : si Δ > 0[modifier | modifier le wikicode]

(donc p < 0).

Pour trouver les trois racines (réelles et distinctes), nous allons faire un changement de variable de la forme

,

est un paramètre non nul que nous allons bientôt préciser.

L'équation deviendra alors

.

L'astuce est de faire en sorte que le membre de gauche de cette équation soit proportionnel à , c'est-à-dire que soit égal à .

On choisit donc , et l'on pose

.

L'équation devient alors

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique simple, qui donnera bien les trois solutions car d'après l'hypothèse, . On retrouve d'ailleurs ainsi les formules de la fin des deux chapitres précédents.

À titre d'exemple, consulter les exercices 6-1 et 6-2.



Deuxième cas : si Δ < 0 et p < 0[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce cas, seule l'une des trois racines (distinctes) est réelle, et elle est du signe de –q, car les deux autres sont conjuguées.

Remarquons aussi que maintenant, .

Pour trouver la racine réelle par le même principe que précédemment, nous allons donc poser cette fois

.

L'équation devient ainsi :

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique hyperbolique simple, qui donnera bien la solution réelle.

À titre d'exemple, consulter l'exercice 6-3.

Troisième cas : si p > 0[modifier | modifier le wikicode]

(donc Δ < 0).

Pour trouver la racine réelle par le même principe que précédemment, nous allons poser cette fois

.

L'équation devient alors :

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique hyperbolique simple, qui donnera bien la solution réelle (et du signe de –q).

À titre d'exemple, consulter l'exercice 6-4.

Résolution trigonométrique en tangente[modifier | modifier le wikicode]

Cette résolution nécessite une condition différente de l'élimination habituelle du monôme de degré 2, mais réalisable pour presque toute équation de degré 3 :


Le seul cas où cette proposition ne s'applique pas est très facile à résoudre directement.

Nous nous consacrerons donc dans cette section à une équation de la forme

dont le discriminant,

,

sera supposé non nul. Il est du signe de –p.

Premier cas : si p < 0[modifier | modifier le wikicode]

En posant

,

nous obtenons l'équation :

.

Au premier membre, nous reconnaissons le développement de tan(3θ) (voir cet exercice). Nous arrivons donc à :

et nous obtenons les trois solutions réelles :

.

À titre d'exemple, consulter l'exercice 6-5.

Deuxième cas : si p > s2/3[modifier | modifier le wikicode]

En posant

,

nous obtenons l'équation :

.

Au premier membre, nous reconnaissons le développement de th(3θ). Nous arrivons donc à :

(La condition p > s2/3 que le second membre de l'équation obtenue est compris entre –1 et 1, ce qui va permettre de résoudre l'équation.)

On obtient la solution réelle :

.

La formule

pourra avantageusement être utilisée dans la formule que l’on vient de trouver.


À titre d'exemple, consulter l'exercice 6-6.

Troisième cas : si 0 < p < s2/3[modifier | modifier le wikicode]

En posant

,

nous obtenons l'équation :

.

Au premier membre, nous reconnaissons le développement de coth(3θ). Nous arrivons donc à :

.

(La condition 0 < p < s2/3 garantit que le second membre de l'équation obtenue n’est pas compris entre –1 et 1, ce qui va permettre de résoudre l'équation.)

On obtient la solution réelle :

.

La formule :

pourra avantageusement être utilisée dans la formule que l’on vient de trouver.


À titre d'exemple consulter l'exercice 6-7.

Méthode trigonométrique pour trouver les racines complexes conjuguées[modifier | modifier le wikicode]

Revenons sur l'équation de la première section, de la forme :

en supposant Δ < 0 (cas où nous n'avions calculé que la racine réelle) et p, q ≠ 0 (sinon, c'est facile).

Premier cas : si Δ < 0 et p < 0[modifier | modifier le wikicode]

On calcule θ tel que :

.

On calcule ensuite φ tel que :

.

Les solutions sont alors :

Deuxième cas : si p > 0[modifier | modifier le wikicode]

(donc Δ < 0).

On calcule θ tel que :

.

On calcule ensuite φ tel que :

.

Les solutions sont alors :