Discussion:Équation du troisième degré/Résolutions trigonométriques

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Bonjour. Dans la remarque, ce n’est pas lorsque delta est positif que l’on ne peut pas trouver les racines complexes (en non négatif) ? Cordialement 11 septembre 2010 à 16:45 (UTC)


J’ai relu la remarque plusieurs fois et je ne comprends pas ce qui cloche ! Pouvez-vous préciser ? --Lydie Noria 12 septembre 2010 à 07:44 (UTC)


"Remarque

Nous remarquons que dans ce chapitre, nous avons pu trouver les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles sans faire appel aux nombres complexes. Ceci est dû au fait que les résolutions trigonométriques étudiées dans ce chapitre ne sont pas des résolutions par radicaux. On démontre dans la théorie de Galois qu’il n’est pas possible de trouver, par radicaux, les trois racines réelles d'une équation du troisième degré ayant un discriminant positif sans se placer dans l’ensemble des nombres complexes. En contrepartie, nous avons vu que les méthodes trigonométriques ne permettent pas de trouver les deux racines complexes conjuguées dans une équation du troisième degré ayant un discriminant négatif."

Ce n’est pas plutôt quand delta est négatif que l’on ne peut pas trouver par radicaux les trois solutions réelles sans passer par les complexes et que les deux racines complexes conjuguées apparaissent quand delta est positif et que l’on ne peut donc pas déterminer par la trigo ? Cordialement 90.18.152.66 12 septembre 2010 à 10:42 (UTC)

Là c’est clair ! Si delta est négatif, vous ne risquez pas de trouver 3 racines réelles pour la simple raison qu’il n'y a pas 3 racines réelles. Quand delta est négatif il y a forcément une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Quand delta est positif, par contre, il y a forcément 3 racines réelles. C'est le rôle de delta d'indiquer la nature des racines. Voyez en détail le chapitre 2 sur les généralités. Et si delta est positif, on ne peut pas trouver les trois racines réelles par radicaux sans passer par les nombres complexes. Mais on peut les trouver par les méthodes trigonométriques sans passer par les nombres complexes car ce n’est pas des méthodes par radicaux comme la méthode de Cardan ou la méthode de Sotta. Cordialement. --Lydie Noria 12 septembre 2010 à 14:16 (UTC)

J’ai compris ! Je n’avais pas remarqué qu’il existait une distinction entre le discriminant d'un équation du 3° degré et celui obtenu par la méthode de Cardan (qui est celui d'une équation du second degré). Ayant en premier lieu étudié les formules de Cardan, je suis passé vite sur le signe du discriminant du 3° degré dans le chapitre 2 et n'ai ^pas remarqué l'inversion. Autant pour moi. 195.6.234.195 16 septembre 2010 à 19:24 (UTC)