Équation du troisième degré/Exercices/Sur la résolution trigonométrique

Exercice 6-1

Soit une suite arithmétique (u_n)_n à termes positifs de premier terme u₀ et de raison 1. Sachant qu'elle contient trois termes consécutifs de produit 1/3, en déduire u₀.

Solution

Soit z le terme médian des trois termes consécutifs de produit 1/3. Les trois termes consécutifs en question seront donc :

$z-1,\quad z,\quad z+1$.

Le produit de ces trois nombres étant 1/3, nous sommes ramenés à résoudre l'équation :

$z(z+1)(z-1)={\frac {1}{3}}$

En développant et en regroupant dans le premier membre, nous obtenons :

$z^{3}-z-{\frac {1}{3}}=0$.

Nous avons alors avec les notations de cours :

$p=-1,\quad q=-{\frac {1}{3}}$.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

$z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos \theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta$.

Nous obtenons :

${\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}\cos ^{3}\theta -{\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta -{\frac {1}{3}}=0$,

qui se simplifie en :

$4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

La linéarisation du premier membre donne :

$\cos 3\theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{6}}$.

Nous en déduisons :

$z_{k}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta _{k}$

avec

$\theta _{k}={\frac {\pi }{18}}+{\frac {2k}{3}}\pi ,\quad k\in \{0,1,2\}$,

soit

${\begin{cases}z_{1}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}\\z_{2}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {11\pi }{18}}\\z_{3}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {13\pi }{18}},\end{cases}}$

qui sont les trois racines de l'équation à résoudre.

Comme l'énoncé nous précisait que les termes recherchés de la suite doivent être positifs, nous voyons que la seule possibilité pour les trois termes consécutifs de produit 1/3 est :

${\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}-1,\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}},\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}+1$

(on peut vérifier que le produit de ces trois termes est bien 1/3).

Comme le premier de ces trois termes est compris entre 0 et 1, le précédent serait négatif, ce qui n’est pas possible. On peut en déduire que le premier des trois termes trouvés est u₀. On a donc :

$u_{0}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}-1$.

 

Exercice 6-2

Résoudre l'équation :

$\left(2+{\sqrt {2}}\right)z^{3}=3z+1$.

Solution

L'équation peut s'écrire :

$z^{3}+pz+q=0$

avec :

$p=-{\frac {3}{2+{\sqrt {2}}}},\quad q=-{\frac {1}{2+{\sqrt {2}}}}$.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

$z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos \theta ={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta$.

L'équation de départ devient alors :

${\frac {8}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos ^{3}\theta ={\frac {6}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta +1$,

qui se simplifie en :

$4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$,

qui s'écrit aussi :

$\cos(3\theta )=\cos {\frac {\pi }{8}}$.

Nous en déduisons :

$z_{k}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta _{k}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cos \theta _{k}$

avec

$\theta _{k}={\frac {{\frac {\pi }{8}}+2k\pi }{3}}={\frac {(1+16k)\pi }{24}}={\frac {k\pi }{2}}+{\frac {(1+4k)\pi }{24}},\quad k\in \{-1,0,1\}$,

soit :

${\begin{cases}z_{-1}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {-3\pi }{24}}=-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {\pi }{8}}\\z_{0}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cos {\frac {\pi }{24}}\\z_{1}=-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {5\pi }{24}}.\end{cases}}$

 

Exercice 6-3

Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l'équation :

$2z^{3}-3z-2=0$.

Solution

L'équation peut s'écrire :

$z^{3}+pz+q=0$

avec :

$p=-{\frac {3}{2}},\quad q=-1$.

$p$ est négatif et Δ < 0.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

$z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cosh \theta ={\sqrt {2}}\cosh \theta$.

Nous obtenons :

$4{\sqrt {2}}\cosh ^{3}\theta -3{\sqrt {2}}\cosh \theta -2=0$,

qui se simplifie en :

$4\cosh ^{3}\theta -3\cosh \theta ={\sqrt {2}}$.

La linéarisation du premier membre donne :

$\cosh(3\theta )={\sqrt {2}}$.

On en déduit :

$3\theta =\operatorname {arcosh} {\sqrt {2}}$,

qui s'écrit aussi :

$3\theta =\ln(1+{\sqrt {2}})$,

soit :

$\theta ={\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{3}}$.

En reportant dans :

$z={\sqrt {2}}\cosh \theta$,

on obtient la solution réelle de l'équation à résoudre :

$z={\sqrt {2}}\cosh {\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{3}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{1/3}+(1+{\sqrt {2}})^{-1/3}}{\sqrt {2}}}$

(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :

${\frac {(1+{\sqrt {2}})^{1/3}\mathrm {j} +(1+{\sqrt {2}})^{-1/3}\mathrm {j} ^{-1}}{\sqrt {2}}}$ et son conjugué.)

 

Exercice 6-4

Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l'équation :

$3z^{3}+3z-2=0$.

Solution

L'équation peut s'écrire :

$z^{3}+pz+q=0~$

avec :

$p=1,\quad q=-{\frac {2}{3}}$.

$p$ est positif et Δ < 0.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

$z={\sqrt {\frac {4p}{3}}}\sinh \theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \theta$.

Nous obtenons :

${\frac {8}{\sqrt {3}}}\sinh ^{3}\theta +2{\sqrt {3}}\sinh \theta -2=0$,

qui se simplifie en :

$4\sinh ^{3}\theta +3\sinh \theta ={\sqrt {3}}$.

La linéarisation du premier membre donne :

$\sinh(3\theta )={\sqrt {3}}$.

On en déduit :

$3\theta =\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}$,

qui s'écrit aussi :

$3\theta =\ln(2+{\sqrt {3}})$,

soit :

$\theta ={\frac {\ln(2+{\sqrt {3}})}{3}}$.

En reportant dans :

$z={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \theta$,

on obtient :

$z={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}})}{3}}={\frac {(2+{\sqrt {3}})^{1/3}-(2+{\sqrt {3}})^{-1/3}}{\sqrt {3}}}$,

qui est la solution réelle de l'équation à résoudre.

(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :

${\frac {(2+{\sqrt {3}})^{1/3}\mathrm {j} -(2+{\sqrt {3}})^{-1/3}\mathrm {j} ^{-1}}{\sqrt {3}}}$ et son conjugué.)

 

Exercice 6-5

Résoudre l'équation :

$x^{3}-48x-32\left(1-{\sqrt {5}}\right)=0$.

Solution

Cette équation est de la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

avec :

$a=1,\quad b=0,\quad c=-48,\quad d=-32\left(1-{\sqrt {5}}\right)$.

Commençons par faire le changement de variable :

$x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\sqrt {5}}-1$.

On obtient :

$z^{3}+3({\sqrt {5}}-1)z^{2}-6(5+{\sqrt {5}})z-8{\sqrt {5}}=0$,

qui est une équation de la forme :

$rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$

avec :

$r=1,\quad s=3({\sqrt {5}}-1),\quad p=-6(5+{\sqrt {5}}),\quad q=-8{\sqrt {5}}$.

On peut vérifier que l’on a bien $sp-9rq=0$.

Posons ensuite :

$z={\sqrt {-{\frac {p}{3r}}}}\tan \theta ={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta$.

On obtient :

$2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan ^{3}\theta +24{\sqrt {5}}\tan ^{2}\theta -6(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta -8{\sqrt {5}}=0$,

que l’on peut écrire :

$2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}(\tan ^{3}\theta -3\tan \theta )=-8{\sqrt {5}}(3\tan ^{2}\theta -1)$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\frac {\tan ^{3}\theta -3\tan \theta }{3\tan ^{2}\theta -1}}={\frac {-8{\sqrt {5}}}{2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}}$,

qui se simplifie en :

$\tan(3\theta )=-{\sqrt {1-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}$,

qui peut encore s'écrire :

$\tan(3\theta )=\tan {\frac {-\pi }{10}}$.

Nous en déduisons :

$z_{k}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta _{k},\qquad k\in \{-1,0,1\}$

avec

$\theta _{k}={\frac {{\frac {-\pi }{10}}+k\pi }{3}}={\frac {(10k-1)\pi }{30}}={\frac {k\pi }{2}}-{\frac {(5k+1)\pi }{30}}$,

soit :

${\begin{cases}z_{-1}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {2\pi }{15}}\\z_{0}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan {\frac {\pi }{30}}\\z_{1}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {\pi }{5}}.\end{cases}}$

En reportant finalement ces valeurs dans :

$x=z+{\sqrt {5}}-1$,

on obtient les trois racines de l'équation que l’on devait résoudre :

${\begin{cases}x_{-1}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {2\pi }{15}}+{\sqrt {5}}-1\\x_{0}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan {\frac {\pi }{30}}+{\sqrt {5}}-1\\x_{1}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {\pi }{5}}+{\sqrt {5}}-1.\end{cases}}$

 

Exercice 6-6

Résoudre l'équation :

$6x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$.

Solution

Cette équation est de la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

avec :

$a=6,\quad b=-3,\quad c=3,\quad d=-1$.

Nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\frac {1}{2}}$.

On obtient :

$12z^{3}+12z^{2}+9z+1=0$,

qui est une équation de la forme :

$rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$

avec :

$r=s=12,\quad p=9,\quad q=1$.

On peut vérifier que l’on a bien $sp-9rq=0$.

Posons ensuite :

$z={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\tanh \theta ={\frac {\tanh \theta }{2}}$.

On obtient :

$3\tanh ^{3}\theta +6\tanh ^{2}\theta +9\tanh \theta +2=0$,

que l’on peut écrire :

$3(\tanh ^{3}\theta +3\tanh \theta )=-2(3\tanh ^{3}\theta +1)$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\frac {\tanh ^{3}\theta +3\tanh \theta }{3\tanh ^{3}\theta +1}}=-{\frac {2}{3}}$,

qui se simplifie en :

$\tanh(3\theta )=-{\frac {2}{3}}$.

Nous en déduisons :

$3\theta =\operatorname {artanh} \left(-{\frac {2}{3}}\right)$,

que nous pouvons écrire sous la forme :

$3\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-{\frac {2}{3}}}{1+{\frac {2}{3}}}}$,

qui se simplifie en :

$\theta =-{\frac {\ln 5}{6}}$.

En reportant dans :

$z={\frac {\tanh \theta }{2}}$,

on obtient :

$z=-{\frac {1}{2}}\tanh {\frac {\ln 5}{6}}$.

Il ne nous reste plus qu'à reporter dans :

$x=z+{\frac {1}{2}}$.

On obtient :

$x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\tanh {\frac {\ln 5}{6}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh {\frac {\ln 5}{6}}\right)={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{5}}+1}}$,

qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.

En utilisant la trigonométrie complexe, on trouve de même les deux autres racines :

${\frac {1}{\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{5}}+1}}$ et son conjugué.

Mais, bien plus rapidement et moins savamment : il saute aux yeux que l'équation se met sous la forme

$5x^{3}+(x-1)^{3}=0$

donc équivaut à

$x\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{5}}=1-x,\quad n\in \{-1,0,1\}$,

soit

$x={\frac {1}{\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{5}}+1}},\quad n\in \{-1,0,1\}$.

 

Exercice 6-7

Résoudre l'équation :

$(m-1)x^{3}-3k(m+1)x^{2}+3k^{2}(m-1)x-k^{3}(m+1)=0$.

L'inconnue est $x$.

$m$ est un paramètre strictement positif et différent de 1.

$k$ est un paramètre strictement positif.

Solution

L'équation est de la forme :

$rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$

avec :

$r=m-1,\quad s=-3k(m+1),\quad p=3k^{2}(m-1),\quad q=-k^{3}(m+1)$.

Cette équation vérifie déjà $sp-9rq=0$. Il est donc inutile de faire le changement de variable indiqué dans le cours.

De plus, nous avons :

$p^{2}-3sq=-36km^{4}<0$.

Nous ferons donc le changement de variable :

$x={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\coth \theta =k\coth \theta$.

On obtient :

$k^{3}(m-1)\coth ^{3}\theta -3k^{3}(m+1)\coth ^{2}\theta +3k^{3}(m-1)\coth \theta -k^{3}(m+1)=0$.

Comme $k$ est strictement positif, on peut simplifier par $k^{3}$ :

$(m-1)\coth ^{3}\theta -3(m+1)\coth ^{2}\theta +3(m-1)\coth \theta -(m+1)=0$,

que l’on peut écrire :

$(m-1)(\coth ^{3}\theta +3\coth \theta )=(m+1)(3\coth ^{2}\theta +1)$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\frac {\coth ^{3}\theta +3\coth \theta }{3\coth ^{2}\theta +1}}={\frac {m+1}{m-1}}$,

qui se simplifie sous la forme :

$\coth(3\theta )={\frac {m+1}{m-1}}$.

Nous en déduisons :

$3\theta =\operatorname {arcoth} {\frac {m+1}{m-1}}$,

que nous pouvons écrire sous la forme :

$3\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {{\frac {m+1}{m-1}}+1}{{\frac {m+1}{m-1}}-1}}$,

qui se simplifie sous la forme :

$\theta ={\frac {\ln m}{6}}$.

En reportant dans :

$x=k\coth \theta$,

on obtient :

$x=k\coth {\frac {\ln m}{6}}=k{\frac {{\sqrt[{3}]{m}}+1}{{\sqrt[{3}]{m}}-1}}$,

qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.

Remarque : plus simplement, et sans $m$ et $k$ soient nécessairement positifs ni même réels, l'équation est de la forme

$m(x-k)^{3}-(x+k)^{3}=0$

donc ses trois solutions complexes sont :

$x_{n}=k{\frac {\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{m}}+1}{\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{m}}-1}},\quad n\in \{-1,0,1\}$.