Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
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Exercices no4
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Équation différentielle du premier ordre
Exo suiv. :Application en démographie
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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
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Cette page ne traite que des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients non constants.

Pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1, voir ce chapitre et pour celles d'ordre 2 à coefficients constants, ce chapitre (et bien sûr, les exercices liés).

Équations à coefficients polynomiaux[modifier | modifier le wikicode]

1.  .

Pour résoudre, poser .

2.  .

Pour résoudre, chercher une solution polynomiale et une solution exponentielle.

3.  .

Résoudre d'abord sur et sur , en posant .

4.  , sur .

Pour résoudre, poser .

Équation y'' + qy = 0[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'équation différentielle , où est continue et intégrable.

  1. Montrer que pour toute solution bornée, =0.
  2. Soient et deux solutions bornées. Que peut-on dire de leur wronskien  ?
  3. Montrer qu'il existe des solutions non bornées.

Théorèmes de Sturm : étude qualitative[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'équation différentielle

,

sont des fonctions continues.

  1. Soit une solution non nulle de .
    1. Montrer que les zéros de sont simples et isolés, c.-à-d. : si alors et, dans un intervalle assez petit autour de , le seul zéro de est .
    2. Montrer que si et sont deux zéros consécutifs de alors .
  2. Soient et deux solutions de linéairement indépendantes.
    1. Soient et . Déduire de la question 1.1 que si et s'annulent simultanément en un point, alors .
    2. Retrouver ainsi (cf. cours) que le wronskien ne s'annule pas.
  3. Déduire de tout ce qui précède que :
    1. et n'ont pas de zéro commun ;
    2. si s'annule plusieurs fois alors, entre deux zéros consécutifs de , il y a exactement un zéro de .