Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
Cette page ne traite que des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients non constants.
Pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1, voir ce chapitre et pour celles d'ordre 2 à coefficients constants, ce chapitre (et bien sûr, les exercices liés).
Équations à coefficients polynomiaux
[modifier | modifier le wikicode]1. .
- Pour résoudre, poser .
On pose (tant sur que sur sur ) , donc et .
.
Une primitive de est .
Donc .
On pose . Alors, , et , donc
.
La solution générale (tant sur que sur sur ) est donc .
Elle est prolongeable par et l'on a alors et .
La solution générale sur est donc .
2. .
- Pour résoudre, chercher une solution polynomiale et une solution exponentielle.
- Cherchons une solution particulière de la forme , donc et .
- .
- Par identification, on obtient : et .
- Une solution particulière est donc .
- Cherchons une solution particulière de la forme , donc et .
- devient, en posant :
- .
- Une deuxième solution particulière est donc .
L'espace des solutions sur ou sur étant de dimension 2, il est engendré par ces deux solutions particulières.
Les solutions sur sont les fonctions de la forme
avec comme seule contrainte : (la fonction est alors, même en , de classe C2 et solution de ).
3. .
- Résoudre d'abord sur et sur , en posant .
.
donc la solution générale sur ou sur est .
Par conséquent, une solution sur est une fonction de la forme
avec tels que soit deux fois dérivable en et , c'est-à-dire .
Il faut d'abord que soit continue en , ce qui équivaut à et donc
Il n'y a pas de contrainte supplémentaire sur pour que soit nul et que existe, car :
- ;
- pour , donc .
4. Soient , et continue. On considère l'équation
- (E) : .
Montrer que par un changement de variable , on se ramène à une e.d.l. à coefficients constants.
Application : Résoudre sur :
- ;
- ;
- ;
- .
Soit , donc et : est deux fois dérivable sur si et seulement si est deux fois dérivable sur , et (E) devient : .
- (avec ), .
- .
- .
- .
Équation y'' + qy = 0
[modifier | modifier le wikicode]On considère l'équation différentielle , où est continue et intégrable.
- Montrer que pour toute solution bornée, =0.
- Soient et deux solutions bornées. Que peut-on dire de leur wronskien ?
- Montrer qu'il existe des solutions non bornées.
- Si est une solution bornée alors admet une limite quand et d'après le théorème des accroissements finis, .
- donc d'après la question 1, .
- Il existe deux solutions linéairement indépendantes. Leur wronskien est alors non nul donc d'après la question 2, ou est non bornée.
Théorèmes de Sturm : étude qualitative
[modifier | modifier le wikicode]On considère l'équation différentielle
- ,
où sont des fonctions continues.
- Soit une solution non nulle de .
- Montrer que les zéros de sont simples et isolés, c'est-à-dire : si alors et, dans un intervalle assez petit autour de , le seul zéro de est .
- Montrer que si et sont deux zéros consécutifs de alors .
- Soient et deux solutions de linéairement indépendantes.
- Soient et . Déduire de la question 1.1 que si et s'annulent simultanément en un point, alors .
- Retrouver ainsi (cf. cours) que le wronskien ne s'annule pas.
- Déduire de tout ce qui précède que :
- et n'ont pas de zéro commun ;
- si s'annule plusieurs fois alors, entre deux zéros consécutifs de , il y a exactement un zéro de .
-
- Sachant que , on a car sinon, par unicité (cf. cours : Théorème fondamental d'existence et unicité), serait la fonction nulle. On a alors et par conséquent, pour suffisamment proche de : .
- Sur , est de signe constant (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) donc (quitte à remplacer par si nécessaire) . Alors et même (d'après la question précédente) . De même, . Donc .
-
- Puisque est solution de , on déduit de 1.1 (par contraposition) que si alors donc (puisque est supposé libre) .
- D'après la question précédente, pour tout , on a
,
autrement dit : les deux vecteurs et sont linéairement indépendants, ce qui se traduit par .
-
- donc .
- D'après 2.2, est de signe constant. Soient et deux zéros consécutifs de . Alors, , et (d'après 1.2) . Par conséquent, donc s'annule au moins une fois entre et . Mais pas deux fois car sinon (en inversant les rôles de et dans ce résultat), il y aurait au moins un zéro de entre deux zéros consécutifs de dans , ce qui est exclu par le choix de .
Voir aussi « cette feuille d'exercices », sur bibmath.net.