Équation différentielle/Exercices/Application en démographie

Depuis 1950, la population d'un pays a un taux annuel moyen de natalité de 20 enfants pour 1 000 et un taux annuel moyen de mortalité de 15 pour 1 000.

De plus, chaque année, en moyenne 100 000 nouveaux arrivants viennent s'installer dans le pays.

On note $P(t)$ la population de ce pays en millions d'habitants, à l'instant $t$ exprimé en années (avec $t\geq 1950$).

1. Justifier que $P(t+1)-P(t)={\frac {1}{200}}P(t)+0{,}1$

2. On suppose que P est dérivable sur $\left[1950,+\infty \right[$.

Justifier que l’on puisse approcher $P(t+1)-P(t)$ par $P'(t)$.

3. Que devient alors la relation du 1 ?

4. Déterminer alors la fonction P sachant que $P(1950)=30{,}5$.

5. Estimer la population en 2008, puis en 2050.

Solution

1. Pour 1000 habitants, la population augmente de 5 personnes entre les années $t$ et $t+1$, donc chaque année la population, hors nouveaux arrivants, augmente de ${\frac {5}{1000}}P(t)={\frac {1}{200}}P(t)$.

Il faut ajouter les nouveaux arrivants, donc entre l'année t et t+1, la population augmente de ${\frac {1}{200}}P(t)+0{,}1$, doù la relation.

2. On rappelle que l'approximation affine d'une fonction dérivable $f$ au voisinage d'un point $a$ est de la forme : $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\varepsilon (x)$, avec $\lim _{a}\varepsilon =0$.

On écrit alors, pour $x$ dans un voisinage de $a$ : $f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a)$.

En remplaçant $x$ par $t$ et $a$ par $t+1$, on obtient la relation $P(t)\simeq P(t+1)+P'(t)(t-t-1)$.

On trouve finalement $P(t+1)-P(t)\simeq P'(t)$.

3. La relation devient alors : $P'(t)={\frac {1}{200}}P(t)+0{,}1$.

4.La solution de cette équation est de la forme : $P(t)=k\operatorname {e} ^{\frac {t}{200}}-20$.

Or $P(1950)=30{,}5$, on trouve alors $k=0{,}00294$ et $P(t)=0{,}00294\operatorname {e} ^{\frac {t}{200}}-20$.

5. Pour déterminer la population en 2008, on calcule $P(2008)=47{,}4$

Pour déterminer la population en 2050, on calcule $P(2050)=63{,}2$

 

Remarque : Ce problème peut également être modélisé avec une suite récurrente.