Topologie générale/Exercices/Compacité
Exercice 1
[modifier | modifier le wikicode]Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass les théorèmes suivants du cours, dans le cas particulier où X est un espace métrique :
- Toute partie compacte de X est fermée.
- Si X est compact alors toute partie fermée de X est compacte.
- La réunion de deux parties compactes de X est compacte.
- Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de X est compacte.
- L'image d'un compact, par une application continue à valeurs dans X (séparé), est compacte.
- Soient A une partie compacte de X et x ∈ X la limite d'une suite d'éléments de A. Cette suite a une sous-suite qui converge dans A. Or la limite de cette sous-suite est x, qui appartient donc à A, ce qui prouve que A est fermé.
- Supposons X compact. Soient A une partie fermée de X et (an) une suite d'éléments de A. Cette suite est à valeurs dans X donc admet une sous-suite qui converge dans X. Comme A est fermé, la limite appartient à A, donc (an) admet une sous-suite qui converge dans A, ce qui prouve que A est compact.
- Soient A et B deux parties compactes de X, C leur réunion, et (cn) une suite d'éléments de C. Si les cn appartiennent tous à A à partir d'un certain rang, alors (cn) admet une sous-suite qui converge dans A donc dans C. Si au contraire une infinité de cn n'appartiennent pas à A, donc appartiennent à B, alors (cn) admet une sous-suite qui converge dans B donc dans C. Ceci prouve que C est compact.
- Soient une famille non vide de parties compactes de X, et (bn) une suite d'éléments de B. Cette suite est à valeurs dans un compact (n'importe lequel des ) donc admet une sous-suite convergente. Soit la limite. Pour tout , cette sous-suite est à valeurs dans , fermé d'après le point 1, donc . Ceci prouve que (bn) admet une sous-suite qui converge dans , donc B est compact.
- Soient C un espace compact, f : C → X une application continue, (xn) une suite dans f(C), et pour tout indice n, cn un antécédent de xn. Par compacité de C, la suite (cn) admet au moins une valeur d'adhérence c, et par continuité de f en ce point, f(c) est alors une valeur d'adhérence de (xn) donc (puisque X est supposé métrique) c est limite d'une sous-suite de (xn).
Exercice 2
[modifier | modifier le wikicode]Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass le théorème suivant du cours, dans le cas particulier où I est dénombrable et les Xi sont des espaces métriques :
- Si les Xi sont compacts alors ∏i∈IXi est compact.
Soit X le produit d'une suite (Xi)i∈ℕ d'espaces métriques compacts et soit (xj)j∈ℕ une suite d'éléments de X (une suite de suites). À partir de n0(j) = j, on construit par récurrence une suite d'extractrices np, chacune extraite de la précédente et telle que dans Xp, la suite converge vers un certain xp, puis on pose (pour tout entier naturel p) φ(p) = np(p). Cette extractrice φ donne alors une suite extraite de (xj)j∈ℕ qui converge par construction vers l'élément (xp)p∈ℕ de X, ce qui achève la preuve.
Exercice 3
[modifier | modifier le wikicode]Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie quasi-compacte de X, B une partie quasi-compacte de Y, et O un ouvert de X×Y contenant A×B.
- Montrer que si A est un singleton alors O contient un ouvert élémentaire U×V contenant A×B.
- Généraliser cette conclusion pour A (quasi-compact) quelconque.
- Déduire de la question 1 que si Y est quasi-compact alors, pour tout x ∈ X, tout ouvert de X×Y contenant la partie {x}×Y contient un ouvert élémentaire U×Y contenant cette partie (c'est le « lemme du tube »).
- En déduire le cas particulier suivant du théorème de Tychonoff : tout produit fini d'espaces quasi-compacts est quasi-compact.
- Déduire de la question 2 que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.
- On peut supposer B non vide. Soit O un ouvert de X×Y contenant {x}×B. Pour tout y ∈ B, le couple (x, y) appartient à O, donc à un ouvert élémentaire Uy×Vy inclus dans O. Le recouvrement ouvert (Vy)y∈B du quasi-compact B possède un sous-recouvrement fini (Vy)y∈Z. Pour un tel Z (fini et non vide), l'ouvert U := ∩y∈Z Uy contient x, l'ouvert V := ⋃y∈Z Vy contient B, et U×V est inclus dans ⋃y∈Z Uy×Vy donc dans O.
- On peut supposer A non vide. D'après le point précédent, pour tout a ∈ A, il existe un ouvert élémentaire Ua×Va inclus dans O et contenant {a}×B. Le recouvrement ouvert (Ua)a∈A du quasi-compact A possède un sous-recouvrement fini (Ua)a∈C. Pour un tel C (fini et non vide), l'ouvert V := ∩a∈CVa contient B, l'ouvert U := ⋃a∈CUa contient A, et U×V est inclus dans O.
- Il suffit d'appliquer la question 1 à B = Y.
- Par récurrence sur le nombre de facteurs du produit, il suffit de le démontrer pour deux facteurs. Soient donc X et Y quasi-compacts et (Gi)i∈I un recouvrement ouvert de X×Y. Pour tout point x de X, la partie {x}×Y est quasi-compacte (car homéomorphe à Y) et incluse dans la réunion des Gi donc dans une certaine réunion finie Ox := ⋃j∈JxGj. D'après le lemme du tube, l'ouvert Ox contient un ouvert élémentaire Ux×Y contenant {x}×Y. Les Ux quand x parcourt X constituent alors un recouvrement ouvert du quasi-compact X, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini Ux1⋃…⋃Uxn. Chaque Oxi (pour i de 1 à n) contient Uxi×Y donc X×Y est inclus dans la réunion de ces Oxi, c'est-à-dire la réunion des Gj pour j appartenant à l'ensemble fini Jx1⋃…⋃Jxn. Ces Gj constituent donc un sous-recouvrement fini.
- Il suffit d'appliquer la question 2 à Y = X séparé et O = le complémentaire de la diagonale (celle-ci étant alors fermée).
Exercice 4
[modifier | modifier le wikicode]Soient un espace compact et une application continue. On définit par : .
- Démontrer que est continue. Que peut-on dire alors de ?
- Pour , et , vérifier ces propriétés par le calcul.
- Remarquons d'abord que est bien à valeurs réelles (car la fonction est continue sur le compact ) et qu'elle est semi-continue inférieurement car les le sont.
Soient maintenant et . Par compacité de , la continuité de par rapport à au point est uniforme par rapport à donc il existe tel que . On en déduit : , ce qui prouve que est aussi semi-continue supérieurement. Elle est donc continue (on peut d'ailleurs le démontrer directement comme on vient de faire pour la semi-continuité supérieure ; voir aussi w:Module de continuité#Faits élémentaires), si bien que est compact. - est égal à si et , et à si ou (les deux expressions et coïncident à l'intersection de ces deux domaines, c'est-à-dire le long des deux demi-droites ouvertes ).
Par recollement, est donc continue, même en car .
avec
,
et
donc , qui est bien fermé borné donc compact.
Exercice 5
[modifier | modifier le wikicode]Lemme de Lebesgue. — Démontrer directement (sans passer par la compacité séquentielle) que tout recouvrement ouvert d'un espace métrique compact possède un nombre de Lebesgue.
Référence : Hervé Quéfellec, Topologie : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2020, 6e éd. [lire en ligne], p. 105 et 114, ex. 3.17.
Soient un espace métrique compact et un recouvrement ouvert de X. Par compacité, il existe un sous-recouvrement fini de ( fini inclus dans ). L'application est continue > 0 donc pour un certain . Pour tout , il existe tel que , et pour un tel , on a .