Sommation/Définition et premiers calculs

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Ce premier chapitre donne les définitions de base ainsi que le calcul de sommes élémentaires à bien connaître.

Définition

Sommation simple

Soit n un nombre entier et (u_i)_0≤i≤n une suite de nombres réels. La somme des termes de cette suite se notera :

$u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}=\sum _{0\leqslant i\leqslant n}u_{i}=\sum _{i\in [\![0;n]\!]}u_{i}$

Si :

$\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}u_{i}$

existe et est fini, nous noterons :

$\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}u_{i}=\sum _{i=0}^{\infty }u_{i}$

Les trois notations de somme données précédemment sont équivalentes mais, selon le contexte, on peut être amené à préférer l'une d'entres elles.

Nous allons voir ci-après une première technique de calcul d'une somme.

Sommation par télescopage

Début d’un théorème

Sommation par télescopage

Soit $f$ une fonction dont le domaine de définition comprend l’ensemble discret 〚0, n + 1〛. Nous avons :

$\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(i+1)-f(i){\bigr )}=f(n+1)-f(0)$.

Fin du théorème

Démonstration

Nous avons :

$\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(i+1)-f(i){\bigr )}=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+\cdots +f(n)-f(n-1)+f(n+1)-f(n)$.

Tous les termes se simplifient sauf deux. Il reste :

$\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(i+1)-f(i){\bigr )}=f(n+1)-f(0)$.

 

Pour pouvoir utiliser la technique précédente, le plus délicat est de déterminer la fonction f.

Nous allons voir trois exemples fondamentaux d'utilisation du théorème précédent :

Premier exemple Soit à calculer : $\sum _{k=0}^{n}k$ (k joue le même rôle que i. On dit que c’est une variable muette.) La fonction f à déterminer sera ici un polynôme, nous le noterons donc p. On doit donc déterminer un polynôme p vérifiant, pour les besoins du théorème, la relation : $p(k+1)-p(k)=k$ Si nous essayons de trouver un polynôme du premier degré vérifiant cette relation, c’est un échec (Le lecteur est invité à le faire.). Essayons avec un polynôme de deuxième degré. Soit : $p(x)=ax^{2}+bx+c$ Nous devons déterminer a, b, c tels que : $\left(a(k+1)^{2}+b(k+1)+c\right)-\left(ak^{2}+bk+c\right)=k$ En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient : $k(2a-1)+a+b=0$ Cette relation devant être vraie pour tout k, nous obtenons : ${\begin{cases}2a-1=0\\a+b=0\end{cases}}$ Dont la solution est : ${\begin{cases}a={\frac {1}{2}}\\b=-{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ Le polynôme recherché est donc : $p(x)={\frac {x^{2}-x}{2}}$ c, ayant été éliminée des calculs, n'a pas d'importance. Pour simplifier, on a pris c = 0. Par télescopage, on obtient donc : $\sum _{k=0}^{n}k=\sum _{k=0}^{n}{\bigl (}p(k+1)-p(k){\bigr )}=p(n+1)-p(0)={\frac {(n+1)^{2}-(n+1)}{2}}-{\frac {0^{2}-0}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}$ Nous retiendrons : $\sum _{k=0}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

Deuxième exemple Soit à calculer : $\sum _{k=0}^{n}k^{2}$ On doit donc déterminer un polynôme p vérifiant, pour les besoins du théorème, la relation : $p(k+1)-p(k)=k^{2}$ Si nous essayons de trouver un polynôme du premier ou du deuxième degré vérifiant cette relation, c’est un échec (Le lecteur est invité à le faire.). Essayons avec un polynôme du troisième degré. Soit : $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ Nous devons déterminer a, b, c, d tels que : $\left(a(k+1)^{3}+b(k+1)^{2}+c(k+1)+d\right)-\left(ak^{3}+bk^{2}+ck+d\right)=k^{2}$ En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient : $k^{2}(3a-1)+k(3a+2b)+a+b+c=0$ Cette relation devant être vraie pour tout k, nous obtenons : ${\begin{cases}3a-1=0\\3a+2b=0\\a+b+c=0\end{cases}}$ Dont la solution est : ${\begin{cases}a={\frac {1}{3}}\\b=-{\frac {1}{2}}\\c={\frac {1}{6}}\end{cases}}$ Le polynôme recherché est donc : $p(x)={\frac {2x^{3}-3x^{2}+x}{6}}$ d, ayant été éliminée des calculs, n'a pas d'importance. Pour simplifier, on a pris d = 0. Par télescopage, on obtient donc : $\sum _{k=0}^{n}k^{2}=\sum _{k=0}^{n}{\bigl (}p(k+1)-p(k){\bigr )}=p(n+1)-p(0)={\frac {2(n+1)^{3}-3(n+1)^{2}+n+1}{6}}-0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ Nous retiendrons : $\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Troisième exemple Soit à calculer : $\sum _{k=0}^{n}k^{3}$ On doit donc déterminer un polynôme p vérifiant, pour les besoins du théorème, la relation : $p(k+1)-p(k)=k^{3}$ Si nous essayons de trouver un polynôme du premier, deuxième ou troisième degré vérifiant cette relation, c’est un échec (Le lecteur est invité à le faire.). Essayons avec un polynôme du quatrième degré. Soit : $p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ Nous devons déterminer a, b, c, d, e tel que : $\left(a(k+1)^{4}+b(k+1)^{3}+c(k+1)^{2}+d(k+1)+e\right)-\left(ak^{4}+bk^{3}+ck^{2}+dk+e\right)=k^{3}$ En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient : $k^{3}(4a-1)+3k^{2}(2a+b)+k(4a+3b+2c)+a+b+c+d=0$ Cette relation devant être vraie pour tout k, nous obtenons : ${\begin{cases}4a-1=0\\2a+b=0\\4a+3b+2c=0\\a+b+c+d=0\end{cases}}$ Dont la solution est : ${\begin{cases}a={\frac {1}{4}}\\b=-{\frac {1}{2}}\\c={\frac {1}{4}}\\d=0\end{cases}}$ Le polynôme recherché est donc : $p(x)={\frac {x^{4}-2x^{3}+x^{2}}{4}}$ e, ayant été éliminée des calculs, n'a pas d'importance. Pour simplifier, on a pris e = 0. Par télescopage, on obtient donc : $\sum _{k=0}^{n}k^{3}=\sum _{k=0}^{n}{\bigl (}p(k+1)-p(k){\bigr )}=p(n+1)-p(0)={\frac {(n+1)^{4}-2(n+1)^{3}+(n+1)^{2}}{4}}-0={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$ Nous retiendrons : $\sum _{k=0}^{n}k^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

Établissement des formules à l'aide des dénombrements

Quelquefois, pour démontrer une formule de sommation, on se sert des dénombrements. On imagine une situation concrète et on effectue un calcul de dénombrement de deux façons possibles. L'une des deux façons faisant appel à la sommation que l’on veut démontrer et l'autre façon n'utilisant aucune sommation. En égalisant les deux calculs, nous obtenons la formule à démontrer.

Exemple d'application. Soit à démontrer la formule de Vandermonde : ${\binom {n+m}{r}}=\sum _{k}{\binom {n}{k}}{\binom {m}{r-k}}$, dans laquelle l'indice k varie a priori dans $\mathbb {Z}$, mais le terme correspondant de la somme n'est non nul que si l'on a à la fois $0\leq k\leq n$ et $0\leq r-k\leq m$, c'est-à-dire $\max(0,r-m)\leq k\leq \min(n,r)$. Pour établir cette formule, nous supposerons que nous avons une urne contenant n boules blanches et m boules noires. On se propose de dénombrer les parties ayant r éléments de l’ensemble des boules de l'urne. Pour cela, on peut procéder de deux façons différentes. Dans une première façon, on peut se baser sur les couleurs et dire que le nombre de parties contenant r boules est la somme du nombre de parties contenant k boules blanches et r – k boules noires, en donnant à k toutes les valeurs entières possibles. Soit : $\sum _{k}{\binom {n}{k}}{\binom {m}{r-k}}$. Dans une seconde façon, on oublie les couleurs et l'on dénombre directement les parties ayant r éléments parmi les n + m boules de l'urne. Soit : ${\binom {n+m}{r}}$. Puisque ces deux expressions sont égales, la formule est démontrée. (Pour une autre méthode, voir l'exercice 5-4.)