Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents

Ce devoir est lié au chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues.

On note $\sim$ la relation d'équivalence sur les irrationnels « avoir un quotient complet commun ».

Autrement dit, si deux irrationnels $x=\left[a_{0},a_{1},\dots \right]$ et $y=\left[b_{0},b_{1},\dots \right]$ ont pour suites de quotients complets $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ :

$x\sim y\Longleftrightarrow \exists r,s\in \mathbb {N} \quad x_{r}=y_{s}$.

1°)  Justifier brièvement les deux propriétés suivantes :

a)  avec les mêmes notations : $x_{r}=y_{s}\Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb {N} \quad a_{r+k}=b_{s+k}\Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb {N} \quad x_{r+k}=y_{s+k}$ ;

b)  pour tout irrationnel $x$ :

Lemme 1 : $\forall a\in \mathbb {Z} \quad a+x\sim x$.

2°)  On considère d'autre part l'action, sur l'ensemble des irrationnels, du groupe $G:=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )$ (les matrices $2\times 2$ à coefficients entiers et de déterminant $\pm 1$), donnée, pour tout irrationnel $x$, par :

$\forall M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in G\quad \quad M\cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}$.

Démontrer que (pour tous irrationnels $x$ et $y$) :

${\text{si}}\quad x\sim y\quad {\text{alors}}\quad \exists M\in G\quad y=M\cdot x$.

La suite de l'exercice va consister à démontrer la réciproque, à l'aide du lemme 1 ci-dessus et des lemmes 2 et 3 suivants, élémentaires donc admis : pour tout irrationnel $x$,

Lemme 2 : $-x\sim x$.

Lemme 3 : ${\frac {1}{x}}\sim x$.

(Le lemme 2 est démontré dans l'exercice 2-11.)

3°)  Soient $x,y$ deux irrationnels dans la même orbite pour l'action de $G$. Il existe donc $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ tels que

$ad-bc=\pm 1\quad {\text{et}}\quad y={\frac {ax+b}{cx+d}}$.

Montrer qu'on peut même choisir $a,b,c,d$ tels que de plus, $(c,d)=(0,1)$ ou $c>0$.

4°)  Montrer que si $(c,d)=(0,1)$ alors $y\sim x$ (utiliser les lemmes 1 et 2).

5°)  On étudie maintenant le second cas : $c>0$. On choisit alors, parmi les deux développements du rationnel ${\frac {a}{c}}$ en fraction continue finie, celui dont la longueur $n$ est de parité telle que

$ad-bc=(-1)^{n}$.

On le note

${\frac {a}{c}}=\left[a_{0},\dots ,a_{n-1}\right]$.

et l'on note $h_{i},k_{i}$ (pour $i<n$) les numérateurs et dénominateurs des réduites associées.

Démontrer successivement :

a)  $a=h_{n-1}$ et $c=k_{n-1}$ ;

b)  $\exists r\in \mathbb {Z} \quad b=rh_{n-1}+h_{n-2}\quad {\text{et}}\quad d=rk_{n-1}+k_{n-2}$ ;

c)  ${\frac {ax+b}{cx+d}}=\left[a_{0},\dots ,a_{n-1},x+r\right]$ ;

d)  et enfin (en utilisant les lemmes 1 et 3) : $y\sim x$.

Solution

Anne Bauval, « Preuve simplifiée du théorème de Serret sur les nombres équivalents », sur arXiv, 19 juin 2017