Trigonométrie/Exercices/Fonctions cosinus et sinus

Exercice 1-1

1°  Expliquer par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :

$\cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x$.

2°  Interpréter cette propriété graphiquement pour les courbes des fonctions cos et sin.

Solution

Pour se ramener aux arcs remarquables $\cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos(-x+{\frac {\pi }{2}})$.

Or par complémentarité
 $\cos \left(-x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin x$.
On écrit tout simplement
 $\cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left(-x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x$.

 

Exercice 1-2

Expliquer par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :

$\cos(x+\pi )=-\cos x$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 1-3

Compléter et expliquer les formules par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :

1°  $\cos(\pi -x)=...$

2°  $\sin(\pi -x)=...$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 1-4

Compléter et expliquer les formules par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :

1°  $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=...$

2°  $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=...$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 1-5

Résoudre l'équation :

$\cos x=0,5$.

Solution

$0,5$ est une valeur remarquable de cosinus : ${\frac {1}{2}}=\cos {\frac {\pi }{3}}$. Les solutions sont donc tous les réels $x$ de la forme ${\frac {\pi }{3}}+2k\pi$ ou $-{\frac {\pi }{3}}+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.

 

Exercice 1-6

Résoudre l'équation :

$\sin x={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Solution

${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ est une valeur remarquable de sinus : ${\frac {\sqrt {3}}{2}}=\sin {\frac {\pi }{3}}$. Les solutions sont donc tous les réels $x$ de la forme ${\frac {\pi }{3}}+2k\pi$ ou $\pi -{\frac {\pi }{3}}+2k\pi ={\frac {2\pi }{3}}+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.

 

Exercice 1-7

Résoudre l'équation :

$\cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Solution

$\cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow x-{\frac {\pi }{4}}=\pm {\frac {\pi }{6}}+2k\pi$ (avec $k$ entier relatif) $\Leftrightarrow x={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{6}}+2k\pi ={\frac {5\pi }{12}}+2k\pi$ ou $x={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi ={\frac {\pi }{12}}+2k\pi$.

 

Exercice 1-8

Calculez le cosinus, le sinus et la tangente de :

1°  ${\frac {\pi }{8}}$ ;

2°  ${\frac {\pi }{24}}$ ;

3°  ${\frac {\pi }{16}}$ ;

4°  ${\frac {17\pi }{12}}$.

Solution

1°  ${\frac {\sqrt {2}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{4}}=2\cos ^{2}{\frac {\pi }{8}}-1=1-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{8}}$ et $0<{\frac {\pi }{8}}<{\frac {\pi }{2}}$ donc

$\cos {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$,

$\sin {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$ et

$\tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}}={\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}-1$.

2°  ${\frac {\pi }{24}}={\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{8}}$ donc

$\cos {\frac {\pi }{24}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{4}}$,

$\sin {\frac {\pi }{24}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{4}}$ et

$\tan {\frac {\pi }{24}}={\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{{\sqrt {3}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}-1)$.

3°  $\cos {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {\pi }{8}}}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}$,

$\sin {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {\frac {1-\cos {\frac {\pi }{8}}}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}$ et

$\tan {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1$.

4°  ${\frac {17\pi }{12}}={\frac {3\pi }{4}}+{\frac {2\pi }{3}}$ donc

$\cos {\frac {17\pi }{12}}={\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}{\frac {-1}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$,

$\sin {\frac {17\pi }{12}}={\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {-1}{2}}={\frac {-1-{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$ et

$\tan {\frac {17\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}=2+{\sqrt {3}}$ (voir aussi l'exercice 12-5).

 

Exercice 1-9

On définit un réel $x$ par :

$\cos x={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},\qquad 0<x<{\frac {\pi }{2}}$

Calculer $\cos 2x$ et en déduire $x$.

Solution

$\cos 2x=2\cos ^{2}x-1={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ donc $x={\frac {\pi }{12}}$.

 

Exercice 1-10

On définit un réel $x$ par :

$\sin x={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\qquad 0<x<{\frac {\pi }{2}}$

1°  Calculer $\cos 2x$ et $\sin 2x$.

2°  Vérifier que $\cos 4x=\sin x$.

3°  En déduire $x$.

Solution

1°  $\cos 2x=1-2\sin ^{2}x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$

$\sin 2x={\sqrt {1-\cos ^{2}2x}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$

2°  $\cos 4x=2\cos ^{2}2x-1={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=\sin x$.

3°  $4x={\frac {\pi }{2}}-x$ donc $x={\frac {\pi }{10}}$.

 

Exercice 1-11

Calculer $\sin 2x$ sachant que :

$\sin x-\cos x={\frac {1}{5}}$

Solution

$\sin 2x=2\sin x\cos x=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x-(\sin x-\cos x)^{2}=1-{\frac {1}{25}}={\frac {24}{25}}$.

 

Exercices 1-12

Calculer en fonction de $a$ et $b$, l'expression :

$A=a\cos 2\theta +b\sin 2\theta$

connaissant :

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}$.

Solution

$A=a{\frac {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}+b{\frac {2{\frac {a}{b}}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}={\frac {a(b^{2}-a^{2})+2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=a{\frac {3b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$.