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Exercice : Résolution de systèmes
Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre les systèmes suivants :
1°
2°
Solution
1°
![{\displaystyle \Leftrightarrow x+y\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}x-y\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df154fccac336570361d6b2ff19b06a8972586c)
![{\displaystyle \Leftrightarrow y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {4\pi }{3}}{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9032132b89ab7a7f54fb623cc34de6bcc0b13c67)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{3}}-\pi {\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}-\pi \right){\text{ et }}y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8701b05d8d6d52d04796a5e9c66329794e9bc4e1)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \left({\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {2\pi }{3}},-{\frac {5\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left({\frac {2\pi }{3}},-{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {\pi }{3}},{\frac {5\pi }{6}}\right){\pmod {2\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277d404eb6a374c241af4edb179cca02d3ba09c)
2°
![{\displaystyle \Leftrightarrow x+y\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}{\text{ et }}x-y\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da64ddee00e06e700270c61ce2a3eaaa3f29015e)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \left(y\equiv {\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(y\equiv -{\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv -{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{2}}\right){\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836c313bf0c3fc069e8c2d8a96c0de51d1b37a88)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \pm \left({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{12}}\right){\text{ ou }}\pm \left({\frac {\pi }{12}},{\frac {\pi }{4}}\right){\pmod {2\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e121d2f644918361d32a081bd2c1451c67052af)
Résoudre les systèmes suivants, de paramètres
et d'inconnue
:
1°
2°
Solution
1° Le déterminant de ce système d'équations linéaires est égal à
.
- Il est nul lorsque
(avec
), et l'ensemble des solutions est alors
.
- Si
, le système est de Cramer et son unique solution est
.
2° Le système équivaut à
- Si
, l'ensemble de ses solutions est donc
tout entier.
- Si
, l'ensemble de ses solutions est
.
- Si
, l'ensemble de ses solutions est
.
- Si
, son unique solution est
avec (cf. exercice 3-2)
.
Résoudre le système :
![{\displaystyle {\begin{cases}x\sin a+y\sin b+z\sin c=0\\x\cos a+y\cos b+z\cos c=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd7e6298013722c281dbba4015e4a27dfbcc1e0)
Soit
. Résoudre le système :
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}={\sqrt {3}}\\x-y=a.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10df95df14ec874a1d390dfa9f6f6ba0ce345f0)
Résoudre le système :
![{\displaystyle {\begin{cases}\sin(x+y)=\cos(x-y)\\\tan x-\tan y=1.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8022c620b694d8b3b80ceda0a1e3c3c0ed9f2e)
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
2°
Solution de la question 1
Solution de la question 2, particulièrement difficile
2° Les solutions
sont entièrement déterminées
par
et
, ou encore par
et
(elles existent si et seulement si
).
- La première équation donne
et la seconde
, qui se réécrit
,
- ou encore
,
- soit
.
- Si
, cette équation devient
, donc il n'y a pas de solution (car
).
- Si
, le discriminant réduit,
, est positif si et seulement si
, et les racines sont alors
; il reste à déterminer leur position par rapport à
.
, et si
alors
. On a donc :
- si
, pas de solution ;
- si
, seule
est
;
- si
,
.
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
2°
3°
Solution
1° Si
, les solutions
sont
. Supposons maintenant
. Alors,
sera entièrement déterminé en fonction de
par son cosinus (
) et son sinus (
), sous réserve que ces deux données soient compatibles, c'est-à-dire que
, ce qui équivaut à
.
- On détermine les solutions
par la méthode habituelle, cf. Cas général (il en existe si et seulement si
).
2° Il faut bien sûr supposer
. Le système équivaut alors à
.
- Si
, pas de solution. Si
,
est déterminé par
et
, avec
, et la seconde équation équivaut alors à
. Or
.
- Finalement, il y a des solutions si et seulement si
, et elles sont alors données, pour
tels que
,
et
, par :
et
, c'est-à-dire
et
.
3° Le système équivaut à
(ce qui détermine
à
près et
), avec
.
- Cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits : il existe des solutions si et seulement si
et
.
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
2°
Solution de la question 1
Solution de la question 2, particulièrement difficile
2° Les solutions sont déterminées
par leur cosinus et le signe de leur sinus.
- Le signe de
détermine celui de
et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant
et
et
, à
, ou encore :
, c'est-à-dire
. Les 2 solutions
de
appartiennent à
si et seulement si
,
et
. Il faut donc que
(et non pas
), et la condition d'existence de solutions
est alors :
.