Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3

Exercice 8-1

Résoudre les équations :

1°  ${\frac {\tan x+\tan 4x}{1-\tan x\tan 4x}}={\frac {1-\tan ^{2}x}{2\tan x}}$ ;

2°  ${\frac {2\tan 3x}{1-\tan ^{2}3x}}={\frac {1-\tan 2x}{1+\tan 2x}}$ ;

3°  ${\frac {2\tan {\frac {x}{3}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{3}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}$.

Solution

1°  $\tan 5x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}$.

2°  $\tan 6x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-2x\right)\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{32}}\mod {\frac {\pi }{8}}$.

3°  $\sin {\frac {2x}{3}}=\cos x\Leftrightarrow {\frac {\pi }{2}}-{\frac {2x}{3}}\equiv \pm x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {3\pi }{10}}\mod {\frac {6\pi }{5}}{\text{ ou }}x\equiv -{\frac {3\pi }{2}}\mod 6\pi$.

 

Exercice 8-2

Résoudre les inéquations :

1°  $2\sin x+1<0$ ;

2°  $2\cos x-{\sqrt {3}}>0$ ;

3°  $\tan ^{2}x-1>0$.

Solution

1°  $\sin x<-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi <x<-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi$.

2°  $\cos x>{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {\pi }{6}}+2k\pi$.

3°  $\tan x\notin \left[-1,1\right]\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {\pi }{2}}+k\pi <x<-{\frac {\pi }{4}}+k\pi {\text{ ou }}{\frac {\pi }{4}}+k\pi <x<{\frac {\pi }{2}}+k\pi$.

 

Exercice 8-3

Résoudre les inéquations :

1°  $\sin ^{2}x-3\sin x+2<0$ ;

2°  $2\sin ^{2}x-3\sin x+1<0$ ;

3°  $\sin x-\sin 2x+\sin 3x>0\qquad (0<x<2\pi )$.

Solution

1°  $s^{2}-3s+2<0\Leftrightarrow 1<s<2$ donc $\sin ^{2}x-3\sin x+2<0$ n'a pas de solution.

2°  $2s^{2}-3s+1<0\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}<s<1$ donc un réel $x$ est solution de $2\sin ^{2}x-3\sin x+1<0$ si et seulement si $\exists k\in \mathbb {Z} \quad \left({\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi {\text{ et }}x\neq {\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)$.

3°  Un réel $x\in \left]0,2\pi \right[$ est solution de $\sin x-\sin 2x+\sin 3x>0$, c'est-à-dire de $\left(2\cos x-1\right)\sin 2x>0$, si et seulement si $0<x<{\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}\leq x<\pi {\text{ ou }}{\frac {3\pi }{2}}\leq x<{\frac {5\pi }{3}}$.

 

Exercice 8-4

Résoudre et discuter éventuellement selon la valeur du paramètre $m$ :

1°  $4\sin ^{2}x-2\left({\sqrt {3}}-1\right)\sin x=m$ ;

2°  $m\sin ^{2}x-2\sin x+m-1=0$ ;

3°  $m\tan ^{2}x-3\tan x+1=0$ ;

4°  $2\tan x-3\cot x+m=0$.

Solution de la question 1, particulièrement difficile

1°  Le discriminant « réduit » (c'est-à-dire divisé par 4) de l'équation $4s^{2}-2\left({\sqrt {3}}-1\right)s-m=0$ est $\Delta '=\left({\sqrt {3}}-1\right)^{2}+4m=4(1+m)-2{\sqrt {3}}$.

Il ne peut y avoir de racines réelles que si $\Delta '\geq 0$, c'est-à-dire si $m\geq {\frac {\sqrt {3}}{2}}-1$. Les deux racines sont alors $s_{\pm }={\frac {{\sqrt {3}}-1\pm {\sqrt {\Delta '}}}{4}}$.

• Si ${\frac {\sqrt {3}}{2}}-1\leq m\leq 6-2{\sqrt {3}}$, il y a en général ${\pmod {2\pi }}$ 4 solutions : $\alpha _{+}$, $\pi -\alpha _{+}$, $\alpha _{-}$ et $\pi -\alpha _{-}$, pour $\alpha _{+},\alpha _{-}\in \mathbb {R}$ tels que $\sin \alpha _{\pm }=s_{\pm }$ (avec, dans le cas limite $m=6-2{\sqrt {3}}$, seulement 3 solutions car $s_{+}=1$ donc $\alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{+}\equiv {\frac {\pi }{2}}$).
• Si $6-2{\sqrt {3}}<m\leq 2+2{\sqrt {3}}$, $-1\leq s_{-}<1<s_{+}$ donc il y a en général ${\pmod {2\pi }}$ 2 solutions : $\alpha _{-}{\pmod {2\pi }}$ et $\pi -\alpha _{-}{\pmod {2\pi }}$ (avec, dans le cas limite $m=2+2{\sqrt {3}}$, seulement une solution car $s_{-}=-1$ donc $\alpha _{-}\equiv \pi -\alpha _{-}\equiv -{\frac {\pi }{2}}$).
• Si $m>2+2{\sqrt {3}}$, il n'y a pas de solution car $s_{-}<-1$ et $s_{+}>1$.

On aboutit aux mêmes conclusions en étudiant les variations sur $\left[-1,1\right]$ du polynôme $4s^{2}-2\left({\sqrt {3}}-1\right)s$.

 

Solution de la question 2, particulièrement difficile

2°  Si $m=0$, l'équation est $\sin x=-{\frac {1}{2}}$ et ses solutions ${\pmod {2\pi }}$ sont $-{\frac {\pi }{6}}$ et $-{\frac {5\pi }{6}}$.

Si $m\neq 0$, le discriminant réduit de l'équation $ms^{2}-2s+m-1=0$ est $\Delta '=1-m\left(m-1\right)=-m^{2}+m+1$.

Il ne peut y avoir de racines réelles que si $\Delta '\geq 0$, c'est-à-dire si ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\leq m\leq {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. Les deux racines sont alors $s_{\pm }={\frac {1\pm {\sqrt {\Delta '}}}{m}}$.

• Si ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\leq m<-{\frac {1}{2}}$, il n'y a pas de solution car $s_{+}\leq s_{-}<-1$.
• Si $-{\frac {1}{2}}\leq m<{\frac {3}{2}}$ (avec $m\neq 0$), seule $s_{-}$ est comprise entre $-1$ et $1$ donc il y a en général ${\pmod {2\pi }}$ deux solutions : $\alpha _{-}$ et $\pi -\alpha _{-}$, pour $\alpha _{-}\in \mathbb {R}$ tel que $\sin \alpha _{-}=s_{-}$ (avec, dans le cas limite $m=-{\frac {1}{2}}$, seulement une solution car $s_{-}=-1$ donc $\alpha _{-}\equiv \pi -\alpha _{-}\equiv -{\frac {\pi }{2}}$).
• Si ${\frac {3}{2}}\leq m\leq {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, il y a en général ${\pmod {2\pi }}$ 4 solutions : $\alpha _{+}$, $\pi -\alpha _{+}$, $\alpha _{-}$ et $\pi -\alpha _{-}$, pour $\alpha _{+},\alpha _{-}\in \mathbb {R}$ tels que $\sin \alpha _{\pm }=s_{\pm }$ (avec, dans le cas limite $m={\frac {3}{2}}$, seulement 3 solutions car $s_{+}=1$ donc $\alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{+}\equiv {\frac {\pi }{2}}$, et dans le cas limite $m={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, seulement 2 solutions car $s_{+}=s_{-}$ donc $\alpha _{+}\equiv \alpha _{-}$ et $\pi -\alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{-}$).

 

Solution des questions 3 et 4

3°  Si $m=0$, l'équation est $\tan x={\frac {1}{3}}$ et ses solutions sont $\arctan {\frac {1}{3}}\mod \pi$.

Si $m\neq 0$, le discriminant de l'équation $mt^{2}-3t+1=0$ est $\Delta =9-4m$ donc si $m\leq {\frac {9}{4}}$, les deux racines (ou la racine double si $m={\frac {9}{4}}$), sont $t_{\pm }={\frac {3\pm {\sqrt {\Delta }}}{2m}}$ et les solutions sont $\arctan t_{+}\mod \pi$ et $\arctan t_{-}\mod \pi$ (si $m>{\frac {9}{4}}$, il n'y a pas de solution).

4°  Le discriminant de l'équation $2t^{2}+mt-3=0$ est $\Delta =m^{2}+24$ donc les deux racines sont $t_{\pm }={\frac {-m\pm {\sqrt {\Delta }}}{4}}$ et les solutions sont $\arctan t_{+}\mod \pi$ et $\arctan t_{-}\mod \pi$.

 

Exercice 8-5

Résoudre et discuter éventuellement selon la valeur du paramètre $m$ :

1°  $\sin ^{2}x-3\sin x\cos x-\cos ^{2}x=m$ ;

2°  $\cos x=m\tan x$ ;

3°  $\sin x=m\cot x$.

Solution

1°  $\cos 2x+{\frac {3}{2}}\sin 2x=-m\Leftrightarrow {\frac {2}{\sqrt {13}}}\cos 2x+{\frac {3}{\sqrt {13}}}\sin 2x=-{\frac {2m}{\sqrt {13}}}$.

Si $|m|>{\frac {\sqrt {13}}{2}}$, il n'y a pas de solution.

Si $|m|\leq {\frac {\sqrt {13}}{2}}$, soient $\varphi ,\alpha \in \mathbb {R}$ tels que $\cos \varphi ={\frac {2}{\sqrt {13}}}$, $\sin \varphi ={\frac {3}{\sqrt {13}}}$ et $\cos \alpha =-{\frac {2m}{\sqrt {13}}}$.

$\cos(2x-\varphi )=\cos \alpha \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\varphi }{2}}\pm {\frac {\alpha }{2}}\mod \pi$.

2°  $\cos ^{2}x=m\sin x\Leftrightarrow \sin ^{2}x+m\sin x-1=0$.

Si $m=0$, les solutions sont $\pm {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$.

Si $m\neq 0$, une seule des deux racines de l'équation $s^{2}+ms-1=0$ (dont le produit vaut $-1$) est comprise entre $-1$ et $1$ : $s={\frac {-m+{\sqrt {m^{2}+4}}}{2}}$ si $m>0$ et $s={\frac {-m-{\sqrt {m^{2}+4}}}{2}}$ si $m<0$. Soit $\alpha \in \mathbb {R}$ tel que $\sin \alpha =s$. Les solutions sont alors $\alpha {\pmod {2\pi }}$ et $\pi -\alpha {\pmod {2\pi }}$.

3°  $\sin x=m\cot x\Leftrightarrow \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=m\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$.

 

Exercice 8-6

Résoudre l'équation (de paramètres $a$ et $b$) :

$\cos ^{2}x-2\sin a\sin b\cos x+\sin ^{2}a+\sin ^{2}b-1=0$.

Solution

Le discriminant réduit est égal à $(\sin a\sin b)^{2}-\sin ^{2}a-\sin ^{2}b+1=\left(1-\sin ^{2}a\right)\left(1-\sin ^{2}b\right)=\left(\cos a\cos b\right)^{2}$.

L'équation est donc équivalente à $\cos x=\sin a\sin b\pm \cos a\cos b=\pm \cos \left(a\mp b\right)$ et ses solutions sont :

$x\equiv \pm (a-b){\text{ ou }}\pm (a+b+\pi )\mod 2\pi$.

 

Exercice 8-7

Résoudre l'équation :

$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x={\frac {5}{8}}$.

Solution

(Cf. exercice 5-4.) $1-{\frac {\sin ^{2}2x}{2}}={\frac {5}{8}}\Leftrightarrow \sin 2x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}\mod {\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 8-8

Démontrer la relation :

$(1-\cos b\cos c)^{2}-\sin ^{2}b\sin ^{2}c=(\cos b-\cos c)^{2}$

et résoudre l'équation :

$x^{2}\sin ^{2}b-2(1-\cos b\cos c)x+\sin ^{2}c=0$.

Solution

Le discriminant réduit est égal à

$(1-\cos b\cos c)^{2}-\sin ^{2}b\sin ^{2}c=1-2\cos b\cos c+\cos ^{2}b\cos ^{2}c-(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)=-2\cos b\cos c+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=(\cos b-\cos c)^{2}$.

Les deux solutions sont donc :

$x_{\pm }={\frac {1-\cos b\cos c\pm (\cos b-\cos c)}{\sin ^{2}b}}$,

c'est-à-dire

$x_{+}={\frac {1-\cos b\cos c+\cos b-\cos c}{\sin ^{2}b}}={\frac {(1+\cos b)(1-\cos c)}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {c}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {b}{2}}}}$ et

$x_{-}={\frac {1-\cos b\cos c-\cos b+\cos c}{\sin ^{2}b}}={\frac {(1-\cos b)(1+\cos c)}{\sin ^{2}b}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {c}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {b}{2}}}}$.