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Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques

Leçons de niveau 12
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Équations et inéquations trigonométriques
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Chapitre no 10
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Théorème du sinus
Chap. suiv. :Les formules de trigonométrie
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Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques
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Équations trigonométriques

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Équations de base

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Début d’un principe
Fin du principe
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


L'équation trigonométrique que l'on étudie et que l'on doit résoudre dans le cas général est : .

L'objectif est de calculer l'ensemble des valeurs de la variable tel que cette équation soit vérifiée.

Les constantes sont des nombres réels tels que .


Nous procédons, dans un premier temps, à la création de trois nouvelles constantes à partir de  :


, ,


La condition à respecter est : .

En effet,


De plus, l'égalité nous ramène à une équation trigonométrique de base faisant intervenir les fonction cosinus et sinus :


Donc : ,


L'équation trigonométrique comportant les nouvelles constantes est : .


En appliquant les nouvelles expressions de et dans l'équation ci-dessus, et en utilisant deux formules de produits-sommes, l'équation peut être simplifiée et faire intervenir uniquement une expression avec la fonction cosinus.


Démonstration :



Donc :

Remarque : L'expression est aussi égale à .


L'équation a plusieurs solutions (racines) en fonction de la valeur de la constante :

  • Si  : L'équation n'admet pas de racines (solutions) car la valeur maximale atteinte par la fonction cosinus est : 1. L'ensemble des solutions est alors l'ensemble vide.
  • Si  : L'équation admet une infinité de solutions et il existe un réel tel que .


La résolution de l'équation est la suivante :


L'ensemble des solutions est alors : (mod )


Les expressions des constantes et en fonction des coefficients sont les suivantes :



ATTENTION : Lors du calcul des solutions de l'équation , vérifiez que votre calculatrice ou logiciel de calcul formel soit paramétré en radian et non en degré.



Conditions d'existence de sommes et produits prescrits de cosinus et sinus

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Soient les équations suivantes, faisant intervenir des sommes et produits de cosinus et sinus :



Les nombres appartiennent à l'ensemble des réels. .

L'objectif est de déterminer les intervalles de valeurs auxquels appartiennent les réels et tels que les sommes et produits des fonctions cosinus et sinus soient vrais.

Somme des fonctions cosinus

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Soit la somme de deux fonctions cosinus :

Les valeurs des réels et pour lesquelles chaque fonction cosinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : et

En effet : et

La somme donne également deux résultats extrêmes : et . Il s'agit des valeurs affectées au réel .


Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel , telles que l'équation soit vraie, appartiennent à l'intervalle : .

Produit des fonctions cosinus

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Soit le produit de deux fonctions cosinus :

Les valeurs des réels et pour lesquelles chaque fonction cosinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : et

En effet : et

Le produit donne également deux résultats extrêmes : et . Il s'agit des valeurs affectées au réel .


Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel , telles que l'équation soit vraie, appartiennent à l'intervalle : .


CONCLUSION POUR LES FONCTIONS COSINUS :


Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions cosinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels et , sont les suivantes :

Somme des fonctions sinus

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Soit la somme de deux fonctions sinus :

Les valeurs des réels et pour lesquelles chaque fonction sinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : et

En effet : et

La somme donne également deux résultats extrêmes : et . Il s'agit des valeurs affectées au réel .


Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel , telles que l'équation soit vraie, appartiennent à l'intervalle : .

Produit des fonctions sinus

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Soit le produit de deux fonctions sinus :

Les valeurs des réels et pour lesquelles chaque fonction sinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : et

En effet : et

Le produit donne également deux résultats extrêmes : et . Il s'agit des valeurs affectées au réel .


Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel , telles que l'équation soit vraie, appartiennent à l'intervalle : .


CONCLUSION POUR LES FONCTIONS SINUS :


Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions sinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels et , sont les suivantes :

Inéquations trigonométriques

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Les inéquations trigonométriques sont des relations d'inégalité entre des expressions incluant des fonctions trigonométriques et des nombres.

Inéquations de base

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Les trois inéquations de base sont les inéquations faisant intervenir les fonctions cosinus, sinus et tangente. Les variables dans ces fonctions sont et .

Dans toutes les inéquations suivantes, on considère le réel comme une variable et le réel comme une valeur fixe (constante).

Fonctions sinus

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Soient

Infériorité ou égalité de deux fonctions sinus
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L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation est :

Stricte infériorité d'une première fonction sinus par rapport à une deuxième fonction sinus
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L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :

Supériorité ou égalité de deux fonction sinus
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L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation est :

Stricte supériorité d'une première fonction sinus sur une deuxième fonction sinus
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L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :

Fonctions cosinus

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Soient

Infériorité ou égalité de deux fonctions cosinus
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L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation est :

Stricte infériorité d'une première fonction cosinus par rapport à une deuxième fonction cosinus
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L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :

Supériorité ou égalité de deux fonctions cosinus
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L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation est :

Stricte supériorité d'une première fonction cosinus sur une deuxième fonction cosinus
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L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :

Fonctions tangente

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Soient

Infériorité ou égalité de deux fonctions tangente
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L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation est :

Stricte infériorité d'une première fonction tangente par rapport à une deuxième fonction tangente
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L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :

Supériorité ou égalité de deux fonctions tangente
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L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation est :

Stricte supériorité d'une première fonction tangente sur une deuxième fonction tangente
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L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :

L'intervalle auquel appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :