Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques

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Équations et inéquations trigonométriques
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Chapitre no 10
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Théorème du sinus
Chap. suiv. :Les formules de trigonométrie
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Équations trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]

Équations de base[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe
Fin du principe
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Soit tel que . On étudie l'équation .

En posant

, et ,

l'équation devient :

avec .

Il existe alors tel que et , et l'équation devient :

.

Si , il n'y a pas de solution.

Si , il existe tel que . L'équation devient alors

,

donc ses solutions sont :

.

Condition d'existence de deux cosinus (ou deux sinus) de somme et produit prescrits[modifier | modifier le wikicode]

Cherchons la condition sur les réels et pour qu'il existe deux angles et tels que

ou (ce qui est équivalent puisque ) deux angles et tels que

.

Il faut avant tout que l'équation ait deux solutions réelles, c'est-à-dire que

.

La condition supplémentaire pour que ces deux solutions soient des cosinus (ou des sinus) est qu'elles soient comprises entre et , c'est-à-dire , ou encore :

et

ce qui équivaut à

et .

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe deux cosinus (ou deux sinus) de somme et de produit est donc :

et .

Inéquations trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]