Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques

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Équations trigonométriques

Équations de base

Début d’un principe

Équations de base

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.

• $\sin(x)=\sin(y)$ si et seulement s'il existe $k\in \mathbb {Z}$ tel que $x=y+2k\pi$ ou $x=\pi -y+2k\pi$.
• $\cos(x)=\cos(y)$ si et seulement s'il existe $k\in \mathbb {Z}$ tel que $x=y+2k\pi$ ou $x=-y+2k\pi$.

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$.

• $\tan(x)=\tan(y)$ si et seulement s'il existe $k\in \mathbb {Z}$ tel que $x=y+k\pi$.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $2\sin(2x)=1$.

Soit $x\in \mathbb {R}$.

${\begin{aligned}2\sin(2x)=1&\Leftrightarrow \sin(2x)={\frac {1}{2}}\\&\Leftrightarrow \sin(2x)=\sin({\frac {\pi }{6}})\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} ,~2x={\frac {\pi }{6}}+2k\pi {\text{ ou }}2x={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi .\end{aligned}}$

L'ensemble des solutions est donc $\left\{{\frac {\pi }{12}}+k\pi ,{\frac {5\pi }{12}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$.

Fin de l'exemple

Cas général

L'équation trigonométrique que l'on étudie et que l'on doit résoudre dans le cas général est : $a\cos(x)+b\sin(x)=c$.

L'objectif est de calculer l'ensemble des valeurs de la variable $x$ tel que cette équation soit vérifiée.

Les constantes $a,b,c$ sont des nombres réels $(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$ tels que $(a,b)\neq (0,0)$.

Nous procédons, dans un premier temps, à la création de trois nouvelles constantes à partir de $a,b,c$ :

$a'={a \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, $b'={b \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, $c'={c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

La condition à respecter est : $a'^{2}+b'^{2}=1$.

En effet, $a'^{2}+b'^{2}=({a \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})^{2}+({b \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})^{2}={(a^{2}+b^{2}) \over (a^{2}+b^{2})}=1$

De plus, l'égalité $a'^{2}+b'^{2}=1$ nous ramène à une équation trigonométrique de base faisant intervenir les fonction cosinus et sinus :

$a'^{2}+b'^{2}=1\Longrightarrow \cos(\alpha )^{2}+\sin(\alpha )^{2}=1$

Donc : ${\begin{cases}a'=\cos(\alpha )&\\b'=\sin(\alpha )&\end{cases}}$, $\alpha \in \mathbb {R}$

L'équation trigonométrique comportant les nouvelles constantes est : $a'\cos(x)+b'\sin(x)=c'$.

En appliquant les nouvelles expressions de $a'$ et $b'$ dans l'équation ci-dessus, et en utilisant deux formules de produits-sommes, l'équation peut être simplifiée et faire intervenir uniquement une expression avec la fonction cosinus.

Démonstration :

$a'\cos(x)+b'\sin(x)=c'\Longrightarrow \cos(\alpha )\cos(x)+\sin(\alpha )\sin(x)=c'$

$\cos(\alpha )\cos(x)={\cos(\alpha +x)+\cos(\alpha -x) \over 2}$

$\sin(\alpha )\sin(x)={\cos(\alpha -x)-\cos(\alpha +x) \over 2}$

Donc : $\cos(\alpha )\cos(x)+\sin(\alpha )\sin(x)=\cos(\alpha -x)=c'$

Remarque : L'expression $\cos(\alpha -x)$ est aussi égale à $\cos(x-\alpha )$.

L'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ a plusieurs solutions (racines) en fonction de la valeur de la constante $c'$ :

• Si $|c'|>1$ : L'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ n'admet pas de racines (solutions) car la valeur maximale atteinte par la fonction cosinus est : 1. L'ensemble des solutions est alors l'ensemble vide. $S=\varnothing$
• Si $|c'|\leq 1$ : L'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ admet une infinité de solutions et il existe un réel $\phi \in \mathbb {R}$ tel que $c'=\cos(\phi )$.

La résolution de l'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ est la suivante :

$\cos(x-\alpha )=c'\Longrightarrow \cos(x-\alpha )=\cos(\phi )$

${\begin{cases}x-\alpha =\phi +2k\pi &\\x-\alpha =-\phi +2k\pi &\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}x=\alpha +\phi +2k\pi &\\x=\alpha -\phi +2k\pi &\end{cases}}$

L'ensemble des solutions est alors : $S=\{\alpha \pm \phi \}$ (mod $2\pi$) $\Longleftrightarrow S=\alpha \pm \phi +2k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z}$

Les expressions des constantes $\phi$ et $\alpha$ en fonction des coefficients $a,b,c$ sont les suivantes :

$\phi =\arccos({c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})$

$\alpha ={\begin{cases}\arctan({b \over a})\mid a>0&\\\pi -\arctan({b \over a})\mid a<0&\end{cases}}$

ATTENTION : Lors du calcul des solutions de l'équation $a\cos(x)+b\sin(x)=c$, vérifiez que votre calculatrice ou logiciel de calcul formel soit paramétré en radian et non en degré.

Conditions d'existence de sommes et produits prescrits de cosinus et sinus

Soient les équations suivantes, faisant intervenir des sommes et produits de cosinus et sinus :

${\begin{matrix}\cos(a)+\cos(b)=S&\cos(a).\cos(b)=P\\\sin(a)+\sin(b)=S&\sin(a).\sin(b)=P\end{matrix}}$

Les nombres $a,b,P,S$ appartiennent à l'ensemble des réels. $\left(a,b,P,S\right)\in \mathbb {R} ^{4}$.

L'objectif est de déterminer les intervalles de valeurs auxquels appartiennent les réels $P$ et $S$ tels que les sommes et produits des fonctions cosinus et sinus soient vrais.

Somme des fonctions cosinus

Soit la somme de deux fonctions cosinus : $\cos(a)+\cos(b)$

Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction cosinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : $0$ et $\pi$ ${\pmod {2\pi }}$

En effet : $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi )=-1$

La somme $\cos(a)+\cos(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-2$ et $+2$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $S$.

Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel $S$, telles que l'équation $\cos(a)+\cos(b)=S$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-2;+2]$.

$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$

Produit des fonctions cosinus

Soit le produit de deux fonctions cosinus : $\cos(a).\cos(b)$

Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction cosinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : $0$ et $\pi$ ${\pmod {2\pi }}$

En effet : $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi )=-1$

Le produit $\cos(a).\cos(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-1$ et $+1$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $P$.

Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel $P$, telles que l'équation $\cos(a).\cos(b)=P$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-1;+1]$.

$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$

CONCLUSION POUR LES FONCTIONS COSINUS :

Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions cosinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels $a$ et $b$, sont les suivantes :

$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$

$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$

Somme des fonctions sinus

Soit la somme de deux fonctions sinus : $\sin(a)+\sin(b)$

Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction sinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : ${+\pi \over 2}$ et ${-\pi \over 2}$ ${\pmod {2\pi }}$

En effet : $\sin({\pi \over 2})=1$ et $\sin({-\pi \over 2})=-1$

La somme $\sin(a)+\sin(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-2$ et $+2$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $S$.

Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel $S$, telles que l'équation $\sin(a)+\sin(b)=S$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-2;+2]$.

$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$

Produit des fonctions sinus

Soit le produit de deux fonctions sinus : $\sin(a).\sin(b)$

Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction sinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : ${+\pi \over 2}$ et ${-\pi \over 2}$${\pmod {2\pi }}$

En effet : $\sin({\pi \over 2})=1$ et $\sin({-\pi \over 2})=-1$

Le produit $\sin(a).\sin(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-1$ et $+1$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $P$.

Conclusion :

Les valeurs affectées au nombre réel $P$, telles que l'équation $\sin(a).\sin(b)=P$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-1;+1]$.

$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$

CONCLUSION POUR LES FONCTIONS SINUS :

Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions sinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels $a$ et $b$, sont les suivantes :

$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$

$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$

Inéquations trigonométriques

Les inéquations trigonométriques sont des relations d'inégalité entre des expressions incluant des fonctions trigonométriques et des nombres.

Inéquations de base

Les trois inéquations de base sont les inéquations faisant intervenir les fonctions cosinus, sinus et tangente. Les variables dans ces fonctions sont $x$ et $y$.

Dans toutes les inéquations suivantes, on considère le réel $x$ comme une variable et le réel $y$ comme une valeur fixe (constante).

Fonctions sinus

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

Infériorité ou égalité de deux fonctions sinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)\leq \sin(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[-\pi -y;y]{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : $-\pi -y+2k\pi \leq x\leq y+2k\pi$

Stricte infériorité d'une première fonction sinus par rapport à une deuxième fonction sinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)<\sin(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]-\pi -y;y[{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : $-\pi -y+2k\pi <x<y+2k\pi$

Supériorité ou égalité de deux fonction sinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)\geq \sin(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[y;\pi -y]{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : $y+2k\pi \leq x\leq \pi -y+2k\pi$

Stricte supériorité d'une première fonction sinus sur une deuxième fonction sinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)>\sin(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]y;\pi -y[{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : $y+2k\pi <x<\pi -y+2k\pi$

Fonctions cosinus

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

Infériorité ou égalité de deux fonctions cosinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)\leq \cos(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[y;2\pi -y]{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est :$y+2k\pi \leq x\leq 2\pi -y+2k\pi$

Stricte infériorité d'une première fonction cosinus par rapport à une deuxième fonction cosinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)<\cos(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]y;2\pi -y[{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :$y+2k\pi <x<2\pi -y+2k\pi$

Supériorité ou égalité de deux fonctions cosinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)\geq \cos(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[-y;y]{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est :$-y+2k\pi \leq x\leq y+2k\pi$

Stricte supériorité d'une première fonction cosinus sur une deuxième fonction cosinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)>\cos(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]-y;y[{\pmod {2\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :$-y+2k\pi <x<y+2k\pi$

Fonctions tangente

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(2k+1){\pi \over 2}\},k\in \mathbb {Z}$

Infériorité ou égalité de deux fonctions tangente

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)\leq \tan(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=]{-\pi \over 2};y]{\pmod {\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : ${(2k-1)\pi \over 2}<x\leq k\pi +y$

Stricte infériorité d'une première fonction tangente par rapport à une deuxième fonction tangente

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)<\tan(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]{-\pi \over 2};y[{\pmod {\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : ${(2k-1)\pi \over 2}<x<k\pi +y$

Supériorité ou égalité de deux fonctions tangente

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)\geq \tan(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : $k\pi +y\leq x<{(2k+1)\pi \over 2}$

Stricte supériorité d'une première fonction tangente sur une deuxième fonction tangente

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)>\tan(y)$

L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}$

L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : $k\pi +y<x<{(2k+1)\pi \over 2}$